O potencial elétrico num ponto, devido a uma determinada configuração de carga, é dado por V(x, y, z)=A\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z+14\right)^{-1 / 2} (S.I.), onde A é uma constante, e \vec{r}=x \hat{x}+y \hat{y}+z \hat{z} é o vetor posição do ponto.
Calcular: (a) o campo elétrico \vec{E}(x, y, z); (b) a densidade de carga \rho(x, y, z); (c) a carga total q.
onde A é uma constante e \vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}. As perguntas são:
(a) Calcular o campo elétrico \vec{E}(x,y,z).
(b) Calcular a densidade de carga \rho(x,y,z).
(c) Calcular a carga total q.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O potencial está explicitado em coordenadas cartesianas como função de x,y,z.
Há uma constante multiplicativa A desconhecida.
Não há outras fontes explícitas no enunciado; devemos deduzir a distribuição de carga a partir de V.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz completando quadrados — isso ajuda a reconhecer a forma geométrica do potencial. Faço as somas separadas:
Assim podemos reescrever o potencial de maneira muito mais clara:
V(\vec{r})=\dfrac{A}{R}.
Comentário didático: reconhecer V=A/R com R=|\vec{r}-\vec{r}_0| é útil porque lembra o potencial de uma carga pontual localizada em \vec{r}_0. Mas ainda vamos derivar tudo passo a passo.
Passo 3
Agora calculo o campo elétrico a partir do potencial. Lembre que a relação entre campo e potencial é
\vec{E}(\vec{r})=-\nabla V(\vec{r}).
Temos V(\vec{r})=A\,R^{-1}. Vou usar a regra da cadeia para o gradiente de R^{-1}. Primeiro calcule a derivada parcial em x (as outras componentes são análogas):
Explicando: o sinal menos do operador gradiente em relação ao potencial e o menos da derivada de R^{-1} se cancelam, por isso aparece + nessa fórmula final.
Passo 4
Escrevo a resposta de (a) em componentes explícitos para que dê para usar direto na prova:
Dica prática: esta é a forma do campo de uma carga pontual situada em \vec{r}_0 com fator multiplicativo A.
Passo 5
Agora vamos obter a densidade de carga \rho(\vec{r}). Existem duas vias equivalentes: (i) usar \rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\vec{E} (lei de Gauss diferencial) ou (ii) usar a equação de Poisson \nabla^{2}V=-\rho/\varepsilon_0. Vou usar os dois para clarificar as ideias e a identidade distribuicional envolvida.
Para \vec{r}\neq\vec{r}_0 a função 1/R é harmônica (suave) e uma propriedade conhecida do cálculo vetorial dá
Então \nabla\cdot\vec{E}=0 fora de \vec{r}_0, e portanto \rho(\vec{r})=0 para \vec{r}\neq\vec{r}_0. Isso indica que toda a carga está concentrada em \vec{r}_0.
Mas para localizar a carga no ponto \vec{r}_0 precisamos usar a identidade em termos da delta de Dirac tridimensional. A identidade padrão (que vale no sentido das distribuições) é
Verificação alternativa rápida: usando \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0 e a identidade distribuicional \nabla\cdot\big((\vec{r}-\vec{r}_0)/R^{3}\big)=4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}-\vec{r}_0), chega-se ao mesmo resultado \rho=4\pi\varepsilon_0 A\delta^{(3)}(\vec{r}-\vec{r}_0).
Interpretação didática: isso significa que a densidade de carga é zero em todo lugar, exceto num ponto \vec{r}_0, onde está concentrada uma carga pontual cuja intensidade é a massa do delta.
Passo 6
Por fim, calculo a carga total q. Integrando a densidade no espaço todo: