O potencial elétrico num ponto, devido a uma determinada configuração de carga, é dado por V(x, y, z)=A\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z+14\right)^{-1 / 2} (S.I.), onde A é uma constante, e \vec{r}=x \hat{x}+y \hat{y}+z \hat{z} é o vetor posição do ponto.
Calcular: (a) o campo elétrico \vec{E}(x, y, z); (b) a densidade de carga \rho(x, y, z); (c) a carga total q.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=A\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+14\right)^{-1/2},
onde A é uma constante e \vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}. As perguntas são:
(a) Calcular o campo elétrico \vec{E}(x,y,z).
(b) Calcular a densidade de carga \rho(x,y,z).
(c) Calcular a carga total q.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O potencial está explicitado em coordenadas cartesianas como função de x,y,z.
  • Há uma constante multiplicativa A desconhecida.
  • Não há outras fontes explícitas no enunciado; devemos deduzir a distribuição de carga a partir de V.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz completando quadrados — isso ajuda a reconhecer a forma geométrica do potencial. Faço as somas separadas:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,
y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4,
z^{2}-6z=(z-3)^{2}-9.
Somando tudo com o termo +14 obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+14=(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}+(-1-4-9+14).
O termo entre parênteses é -1-4-9+14=0. Portanto a expressão simplifica para
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+14=(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}.
Definimos o ponto deslocado
\vec{r}_0=1\hat{x}-2\hat{y}+3\hat{z}
e a distância
R\equiv\left|\vec{r}-\vec{r}_0\right|=\sqrt{(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}}.
Assim podemos reescrever o potencial de maneira muito mais clara:
V(\vec{r})=\dfrac{A}{R}.
Comentário didático: reconhecer V=A/R com R=|\vec{r}-\vec{r}_0| é útil porque lembra o potencial de uma carga pontual localizada em \vec{r}_0. Mas ainda vamos derivar tudo passo a passo.

Passo 3

Agora calculo o campo elétrico a partir do potencial. Lembre que a relação entre campo e potencial é
\vec{E}(\vec{r})=-\nabla V(\vec{r}).
Temos V(\vec{r})=A\,R^{-1}. Vou usar a regra da cadeia para o gradiente de R^{-1}. Primeiro calcule a derivada parcial em x (as outras componentes são análogas):
\frac{\partial}{\partial x}\left(R^{-1}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left((x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}\right)^{-1/2}.
Aplicando a regra da cadeia: se f(u)=u^{-1/2} então f'(u)=-\tfrac{1}{2}u^{-3/2}. Com u=(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2} obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\left(R^{-1}\right)=-\frac{1}{2}u^{-3/2}\cdot 2(x-1)=-(x-1)u^{-3/2}.
Mas u^{1/2}=R, então u^{-3/2}=R^{-3}. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\left(R^{-1}\right)=-(x-1)R^{-3}.
Analogamente
\frac{\partial}{\partial y}\left(R^{-1}\right)=-(y+2)R^{-3},\qquad \frac{\partial}{\partial z}\left(R^{-1}\right)=-(z-3)R^{-3}.
Portanto o gradiente é
\nabla\!\left(R^{-1}\right)=-\frac{\vec{r}-\vec{r}_0}{R^{3}}.
Multiplicando por A e lembrando o sinal em \vec{E}=-\nabla V, obtemos
\vec{E}(\vec{r})=-\nabla\!(A R^{-1})=-A\nabla\!(R^{-1})=A\frac{\vec{r}-\vec{r}_0}{R^{3}}.
Explicando: o sinal menos do operador gradiente em relação ao potencial e o menos da derivada de R^{-1} se cancelam, por isso aparece + nessa fórmula final.

Passo 4

Escrevo a resposta de (a) em componentes explícitos para que dê para usar direto na prova:
\vec{E}(x,y,z)=A\frac{(x-1)\,\hat{x}+(y+2)\,\hat{y}+(z-3)\,\hat{z}}{\big[(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}\big]^{3/2}}.
Dica prática: esta é a forma do campo de uma carga pontual situada em \vec{r}_0 com fator multiplicativo A.

Passo 5

Agora vamos obter a densidade de carga \rho(\vec{r}). Existem duas vias equivalentes: (i) usar \rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\vec{E} (lei de Gauss diferencial) ou (ii) usar a equação de Poisson \nabla^{2}V=-\rho/\varepsilon_0. Vou usar os dois para clarificar as ideias e a identidade distribuicional envolvida.
Para \vec{r}\neq\vec{r}_0 a função 1/R é harmônica (suave) e uma propriedade conhecida do cálculo vetorial dá
\nabla\cdot\left(\frac{\vec{r}-\vec{r}_0}{R^{3}}\right)=0\qquad\text{para }\vec{r}\neq\vec{r}_0.
Então \nabla\cdot\vec{E}=0 fora de \vec{r}_0, e portanto \rho(\vec{r})=0 para \vec{r}\neq\vec{r}_0. Isso indica que toda a carga está concentrada em \vec{r}_0.
Mas para localizar a carga no ponto \vec{r}_0 precisamos usar a identidade em termos da delta de Dirac tridimensional. A identidade padrão (que vale no sentido das distribuições) é
\nabla^{2}\!\left(\frac{1}{R}\right)=-4\pi\,\delta^{(3)}(\vec{r}-\vec{r}_0),
onde \delta^{(3)} é a delta de Dirac em três dimensões centrada em \vec{r}_0. Usando Poisson \nabla^{2}V=-\rho/\varepsilon_0 e V=A/R, temos
\nabla^{2}V=A\,\nabla^{2}\!\left(\frac{1}{R}\right)=A\left(-4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}-\vec{r}_0)\right).
Logo
-\frac{\rho}{\varepsilon_0}=-4\pi A\,\delta^{(3)}(\vec{r}-\vec{r}_0).
Isolando \rho,
\rho(\vec{r})=4\pi\varepsilon_0 A\,\delta^{(3)}(\vec{r}-\vec{r}_0).
Verificação alternativa rápida: usando \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0 e a identidade distribuicional \nabla\cdot\big((\vec{r}-\vec{r}_0)/R^{3}\big)=4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}-\vec{r}_0), chega-se ao mesmo resultado \rho=4\pi\varepsilon_0 A\delta^{(3)}(\vec{r}-\vec{r}_0).
Interpretação didática: isso significa que a densidade de carga é zero em todo lugar, exceto num ponto \vec{r}_0, onde está concentrada uma carga pontual cuja intensidade é a massa do delta.

Passo 6

Por fim, calculo a carga total q. Integrando a densidade no espaço todo:
q=\iiint_{\mathbb{R}^{3}}\rho(\vec{r})\,d^{3}r=\iiint_{\mathbb{R}^{3}}4\pi\varepsilon_0 A\,\delta^{(3)}(\vec{r}-\vec{r}_0)\,d^{3}r.
A integral da delta dá 1, então
q=4\pi\varepsilon_0 A.
Comentário: isso também pode ser visto comparando V=A/R com a forma usual do potencial de uma carga pontual em SI,
V=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R},
da qual se identifica A=q/(4\pi\varepsilon_0) e portanto q=4\pi\varepsilon_0 A.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{E}(x,y,z)=A\frac{(x-1)\,\hat{x}+(y+2)\,\hat{y}+(z-3)\,\hat{z}}{\big[(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}\big]^{3/2}}.
(b) \displaystyle \rho(x,y,z)=4\pi\varepsilon_0 A\,\delta^{(3)}\!\big(\vec{r}-\vec{r}_0\big), com \displaystyle \vec{r}_0=1\hat{x}-2\hat{y}+3\hat{z}.
(c) \displaystyle q=4\pi\varepsilon_0 A.

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