Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de um mês.
Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, no máximo 4 vazamentos num certo trecho de 6 km de extensão?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é a gente usar a distribuição de Poisson pra modelar vazamentos que aparecem de forma “aleatória” ao longo de um cano. O enunciado diz: num cano de 60 km têm 30 vazamentos em um mês. A pergunta é: qual a probabilidade de ter, no máximo, 4 vazamentos num trecho de 6 km nesse mesmo mês?
Conteúdo: distribuição de Poisson e regra de três pra achar a taxa de eventos por km.

Passo 2

Primeiro a gente precisa achar a média (λ) de vazamentos esperados em 6 km. Como em 60 km aparecem 30 vazamentos, a taxa é
lambdapor km = 3060 = 0,5 vazamentos por km
Então, em 6 km esperamos
lambda = 0,5 times 6 = 3
vazamentos no mês nesse trecho.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da Poisson. Se X é o número de vazamentos em 6 km, então
P(X = k) = e^-lambda,lambda^kk!
e queremos
P(X <= 4) ;=; sumk=0^4 e^-3,3^kk!

Passo 4

Vamos escrever cada termo e somar (aproximando):
  • k=0: 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240 + 0,1680 approx 0,8152
  • k=1:
  • k=2:
  • k=3:
  • k=4:
Somando tudo:

Resposta

A probabilidade de ocorrer, no máximo, 4 vazamentos em um trecho de 6 km é aproximadamente 0,815.

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