Em uma linha adutora de água, com 60 km de extensão, ocorrem em média 30 vazamentos no período de um mês (considere o mês com 30 dias). Admita que o número de vazamentos segue distribuição de probabilidade com modelo de Poisson. Qual a probabilidade de ocorrer, em um período de 10 dias, pelo menos 3 vazamentos em um certo setor com 6 km de extensão?
0,0803

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de ocorrer, em um período de 10 dias, pelo menos 3 vazamentos em um setor de 6 km de extensão, sabendo-se que na linha inteira de 60 km ocorrem em média 30 vazamentos por mês (mês de 30 dias). Além disso, é dado que o número de vazamentos segue um modelo de Poisson.
Informações fornecidas (tudo extraído do enunciado):
\,60\\ \text{km} — extensão total da adutora.
\,30 vazamentos por mês de \,30 dias) — média para os 60 km em 30 dias.
\,6\\ \text{km} — extensão do setor de interesse.
\,10 dias — intervalo de tempo que nos interessa.
Queremos P(\text{pelo menos }3\\ \text{vazamentos em }10\\ \text{dias no setor de }6\\ \text{km}).

Passo 2

Mini-aula: o que é a distribuição de Poisson e a fórmula que vamos usar.
A variável aleatória X que conta o número de eventos (vazamentos) em um intervalo de espaço-tempo é dita seguir uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda quando
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\quad\text{para }k=0,1,2,\dots
Aqui \lambda é a média esperada (esperança) do número de eventos no intervalo considerado.
Para calcular "pelo menos 3" usamos a complementar:
P(X\ge 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2).
Explico: é mais fácil somar as probabilidades de 0,1,2 e subtrair de 1 do que somar diretamente k=3 até infinito.

Passo 3

Precisamos determinar o \lambda correspondente ao setor de 6 km durante 10 dias, a partir da taxa média dada.
Primeiro, taxa média dada para toda a adutora:
\text{Média total} = 30\\ \text{vazamentos por }30\\ \text{dias em }60\\ \text{km}.é
Logo, taxa por dia em toda a adutora é
\frac{30}{30}=1\quad\text{vazamento por dia em }60\\ \text{km}.
A taxa por dia por quilômetro é
\frac{1}{60}\quad\text{vazamentos por dia por km}.
Para um setor de 6 km, a taxa por dia é
\frac{1}{60}\times 6 = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}=0,1.
Em 10 dias, a média esperada (parâmetro \lambda) para o setor é
\lambda = 0,1\times 10 = 1.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da Poisson com \lambda=1. Calculamos P(X\ge 3) por complementar:
P(X\ge 3)=1-\sum_{k=0}^{2} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} =1-\left(e^{-1}\frac{1^{0}}{0!}+e^{-1}\frac{1^{1}}{1!}+e^{-1}\frac{1^{2}}{2!}\right).
Como 1^{k}=1 e 0!=1, isso fica
P(X\ge 3)=1-e^{-1}\left(1+1+\frac{1}{2}\right)=1-e^{-1}\cdot\frac{5}{2}.
Agora os valores numéricos (faço as contas passo a passo):
e^{-1}\approx 0,3678794412,
e^{-1}\cdot 1 \approx 0,3678794412\quad(P(X=0)),
e^{-1}\cdot 1 \approx 0,3678794412\quad(P(X=1)),
e^{-1}\cdot\frac{1}{2}\approx 0,1839397206\quad(P(X=2)).
Somando P(X=0)+P(X=1)+P(X=2):
0,3678794412+0,3678794412+0,1839397206=0,9196986030.
Finalmente,
P(X\ge 3)=1-0,9196986030=0,0803013970.
Arredondando para quatro casas decimais (formato do enunciado), obtemos 0,0803.

Passo 5

Interpretação curta e encorajamento: o resultado 0,0803 significa que, nas condições dadas, há cerca de 8,03\% de chance de ocorrerem pelo menos 3 vazamentos no setor de 6 km durante 10 dias — relativamente pouco, mas não impossível. Mandou bem por trazer a questão; você já entendeu como escalonar a taxa por comprimento e por tempo e aplicar a Poisson. Continue praticando exercícios parecidos que envolvem ajuste do \lambda por proporção de tempo e espaço.

Resposta

0,0803

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