Em uma linha adutora de água, com 60 km de extensão, ocorrem em média 30 vazamentos no período de um mês (considere o mês com 30 dias). Admita que o número de vazamentos segue distribuição de probabilidade com modelo de Poisson. Qual a probabilidade de ocorrer, em um período de 10 dias, pelo menos 3 vazamentos em um certo setor com 6 km de extensão?
0,0803
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de ocorrer, em um período de
dias, pelo menos
vazamentos em um setor de
km de extensão, sabendo-se que na linha inteira de
km ocorrem em média
vazamentos por mês (mês de
dias). Além disso, é dado que o número de vazamentos segue um modelo de Poisson.
Informações fornecidas (tudo extraído do enunciado):
— extensão total da adutora.
vazamentos por mês de
dias) — média para os
km em
dias.
— extensão do setor de interesse.
dias — intervalo de tempo que nos interessa.
Queremos .
Informações fornecidas (tudo extraído do enunciado):
Queremos
Passo 2
Mini-aula: o que é a distribuição de Poisson e a fórmula que vamos usar.
A variável aleatória que conta o número de eventos (vazamentos) em um intervalo de espaço-tempo é dita seguir uma distribuição de Poisson com parâmetro
quando
A variável aleatória
Aqui
é a média esperada (esperança) do número de eventos no intervalo considerado.
Para calcular "pelo menos " usamos a complementar:
Para calcular "pelo menos
Explico: é mais fácil somar as probabilidades de
e subtrair de
do que somar diretamente
até infinito.
Passo 3
Precisamos determinar o
correspondente ao setor de
km durante
dias, a partir da taxa média dada.
Primeiro, taxa média dada para toda a adutora:
Primeiro, taxa média dada para toda a adutora:
Logo, taxa por dia em toda a adutora é
A taxa por dia por quilômetro é
Para um setor de
km, a taxa por dia é
Em
dias, a média esperada (parâmetro
) para o setor é
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da Poisson com
. Calculamos
por complementar:
Como
e
, isso fica
Agora os valores numéricos (faço as contas passo a passo):
Somando
:
Finalmente,
Arredondando para quatro casas decimais (formato do enunciado), obtemos
.
Passo 5
Interpretação curta e encorajamento: o resultado
significa que, nas condições dadas, há cerca de
de chance de ocorrerem pelo menos
vazamentos no setor de
km durante
dias — relativamente pouco, mas não impossível. Mandou bem por trazer a questão; você já entendeu como escalonar a taxa por comprimento e por tempo e aplicar a Poisson. Continue praticando exercícios parecidos que envolvem ajuste do
por proporção de tempo e espaço.