Considere o experimento de lançar dois dados equilibrados. Agora o nosso interesse está na soma das faces dos dois dados. Neste caso, defina a variável aleatória X= “soma das faces”.
a) Defina \operatorname{Im}(X).
b) Verifique que X é v.a. discreta.
c) Encontre a função de probabilidade de X, verifique as propriedades da função de probabilidade e esboce seu gráfico.
d) Encontre a função de distribuição de X e esboce o seu gráfico.
e) Calcule a probabilidade da soma ser menor que 6.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos:\n
Lançamos dois dados equilibrados (justaposição de dois dados honestos). Cada dado tem faces 1,2,3,4,5,6.\n
A variável aleatória é X= “soma das faces dos dois dados”.\n
Perguntas que o enunciado faz:\n
a) Definir \operatorname{Im}(X).\n
b) Verificar que X é v.a. discreta.\n
c) Encontrar a função de probabilidade de X, verificar suas propriedades (não-negatividade e soma igual a 1) e esboçar o gráfico.\n
d) Encontrar a função de distribuição de X (CDF) e esboçar o gráfico.\n
e) Calcular P(X<6).\n
Passo 2
Determinar os possíveis valores que X pode assumir (isto é, \operatorname{Im}(X)).\n
Raciocínio passo a passo:\n
O menor valor possível ocorre quando ambos os dados mostram 1: a soma mínima é 1+1.\n
O maior valor possível ocorre quando ambos os dados mostram 6: a soma máxima é 6+6.\n
Portanto:\n
Verificar que X é uma variável aleatória discreta.\n
Explicação didática do conceito e aplicação aqui:\n
Uma v.a. é chamada de discreta quando assume um conjunto finito ou contável de valores distintos, normalmente com uma função de probabilidade que dá a probabilidade de cada valor.\n
No nosso caso \operatorname{Im}(X) (do Passo 2) é um conjunto finito de 11 valores. Logo X é discreta.\n
Observação prática: outra forma de ver é que cada valor de X corresponde a um número inteiro de resultados do espaço amostral finito (os pares ordenados dos resultados dos dois dados), então podemos atribuir uma probabilidade positiva a cada valor de X. Isso confirma a natureza discreta.
Passo 4
Determinar a função de probabilidade (massa de probabilidade) p_X(k)=P(X=k)\) para \(k\in\operatorname{Im}(X)\).\n
Método (contagem de resultados favoráveis):\n
- Espaço amostral dos dois dados (ordenados) tem \(6\times6=36\) resultados igualmente prováveis.\n
- Para cada soma \(k\) contamos quantos pares ordenados \((i,j)\) com \(i,j\in\{1,\dots,6\}\) satisfazem \(i+j=k\).\n
Contagens conhecidas (ou obtidas por enumerar):\n
\[\begin{array}{c|ccccccccccc} k & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\hline \text{nº de pares} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}\n
Explicação do padrão: para k=2,3,\dots,7 o número de pares cresce como k-1; para k=8,\dots,12 decresce como 13-k. Em fórmula compacta:\n
\text{número de pares para }k=\begin{cases} k-1, & k=2,3,\dots,7,\\[4pt] 13-k, & k=8,9,\dots,12. \end{cases}\n
Assim a função de probabilidade é\n
p_X(k)=P(X=k)=\frac{\text{nº de pares que somam }k}{36}.\n
Listando p_X(k)\]:\n
\[\begin{array}{c|ccccccccccc} k & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\hline p_X(k) & \dfrac{1}{36} & \dfrac{2}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{4}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{6}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{4}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{2}{36} & \dfrac{1}{36} \end{array}\]\n
Verificação das propriedades da função de probabilidade:\n
1) Não-negatividade: cada \(p_X(k)= número positivo sobre 36, logo p_X(k)\ge 0 para todo k.\n
2) Soma das probabilidades igual a 1: somando os numeradores 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1.\n\nCalculemos essa soma passo a passo:\n
Note que 1+2+3+4+5+6=21 e 5+4+3+2+1=15. Então a soma total é 21+15=36.\n
Portanto\n
\sum_{k=2}^{12} p_X(k)=\frac{36}{36}=1.\n
Esboço do gráfico de p_X:\n
É um histograma (gráfico de barras) com barras em k=2,3,\dots,12.\n- Alturas: 1/36,2/36,\dots,6/36,\dots,1/36, simétrico em torno de k=7, com máximo em k=7 valendo 6/36=1/6.\n- Forma: “triangular” discreta (subindo até 7 e descendo simetricamente). Isso é o esboço pedido.]
Passo 5
Encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) F_X(x)=P(X\le x)\) e esboçar seu gráfico.\n
Definição e procedimento:\n
- Para uma v.a. discreta, \(F_X(x)\) é uma função em escada que aumenta apenas nos pontos em que \(X\) tem massa de probabilidade.\n
- Como \(X\) assume apenas valores inteiros \(2,3,\dots,12\), para \(x<2\) temos \(F_X(x)=0\), e para \(x\ge 12\) temos \(F_X(x)=1\).\n
Valores acumulados nos inteiros (usando as contagens do Passo 4):\n
\[\begin{array}{c|ccccccccccc} k & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\hline \text{nº cumulativo} & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 26 & 30 & 33 & 35 & 36 \end{array}\n
Podemos simplificar os racionais, se desejar, por exemplo \dfrac{1}{36}\], \(\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}, \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}, \dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}, etc.\n
Esboço do gráfico da CDF:\n
É uma função em degraus que começa em 0 para x<2, e sobe em saltos nos pontos 2,3,\dots,12.\n- O tamanho do salto em k é exatamente p_X(k). O gráfico é à direita-contínuo (padrão para CDFs): o valor no ponto k inclui a massa em k.]
Passo 6
Calcular a probabilidade pedida P(X<6).\n
Observação importante: X só assume valores inteiros. Assim P(X<6)=P(X\le 5).\n
Usando as contagens do Passo 4, somamos as probabilidades para k=2,3,4,5:\n
Interpretando: em 10 de 36 resultados a soma é menor que 6, ou seja, probabilidade \dfrac{5}{18}.
Resposta
a) \operatorname{Im}(X)=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.\)\n
b) \(X\) é discreta, pois assume um conjunto finito de valores (\(11\) valores).\n
c) \(p_X(k)=P(X=k)=\dfrac{\text{nº de pares que somam }k}{36}\), ou explicitamente\n\[p_X(2)=\dfrac{1}{36},\;p_X(3)=\dfrac{2}{36},\;p_X(4)=\dfrac{3}{36},\;p_X(5)=\dfrac{4}{36},\;p_X(6)=\dfrac{5}{36},\np_X(7)=\dfrac{6}{36},\;p_X(8)=\dfrac{5}{36},\;p_X(9)=\dfrac{4}{36},\;p_X(10)=\dfrac{3}{36},\;p_X(11)=\dfrac{2}{36},\;p_X(12)=\dfrac{1}{36}.\n
Verificação: p_X(k)\ge0 e \sum_{k=2}^{12}p_X(k)=\dfrac{36}{36}=1. (Gráfico: histograma discreto simétrico com pico em k=7 de altura 6/36.)\n