Os refrigeradores produzidos por uma empresa são vendidos em lotes com 50 unidades. Um determinado lote possui 10 refrigeradores com algum tipo de defeito. O comprador desse lote, sem saber exatamente quantos refrigeradores defeituosos havia, adotou o seguinte procedimento: sorteou uma amostra de 20 refrigeradores para teste. O comprador afirmou que, se na amostra houvesse pelo menos 2 defeituosos, o lote inteiro seria rejeitado.
a) Determine a probabilidade do comprador rejeitar o lote. 0,9692
b) Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote, qual a probabilidade dessa amostra não ter refrigerador defeituoso? 0,095

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Lote com 50 refrigeradores ( N=50).
  • 10 refrigeradores defeituosos no lote ( K=10).
  • O comprador sorteia uma amostra de 20 refrigeradores ( n=20).
  • Regra do comprador: rejeita o lote se na amostra houver pelo menos 2 defeituosos.
Perguntas:
  1. Qual a probabilidade do comprador rejeitar o lote? (ou seja, P(X\ge2), onde X é o número de defeituosos na amostra).
  2. Admitindo que o comprador aceitou o lote (ou seja, que X\le1), qual a probabilidade de que a amostra não tenha refrigerador defeituoso? (ou seja, P(X=0\mid X\le1)).

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Aqui estamos amostrando sem reposição de um lote finito: a variável X (número de defeituosos na amostra de tamanho n) segue a distribuição hipergeométrica.
  • A probabilidade de obter exatamente k defeituosos na amostra é
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \binom{K}{k} é o número de maneiras de escolher k defeituosos entre os K existentes.
  • \binom{N-K}{n-k} é o número de maneiras de escolher os n-k não defeituosos restantes entre os N-K bons.
  • \binom{N}{n} é o número total de amostras de tamanho n (denominador que normaliza).
  • Para esta questão, N=50, K=10, n=20. Vamos precisar de P(X=0) e P(X=1); então P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1).

Passo 3

Escrevendo P(X=0) e P(X=1) pela fórmula hipergeométrica:
P(X=0)=\frac{\binom{10}{0}\binom{40}{20}}{\binom{50}{20}}=\frac{\binom{40}{20}}{\binom{50}{20}},
P(X=1)=\frac{\binom{10}{1}\binom{40}{19}}{\binom{50}{20}}=10\cdot\frac{\binom{40}{19}}{\binom{50}{20}}.
Então
P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1).

Passo 4

Simplificação útil (para evitar cálculos enormes com combinações): ligar P(X=1) a P(X=0).
Usamos a identidade combinatória
\binom{40}{19}=\binom{40}{20}\cdot\frac{20}{21},
pois \binom{n}{k-1}=\binom{n}{k}\cdot\frac{k}{n-k+1}. Assim
P(X=1)=10\cdot\frac{\binom{40}{19}}{\binom{50}{20}} =10\cdot\frac{20}{21}\cdot\frac{\binom{40}{20}}{\binom{50}{20}} =\frac{200}{21}\,P(X=0).
Portanto
P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=P(X=0)\left(1+\frac{200}{21}\right)=P(X=0)\cdot\frac{221}{21}.
E finalmente
P(X\ge2)=1-P(X\le1)=1-P(X=0)\cdot\frac{221}{21}.

Passo 5

Cálculo numérico de P(X=0). Uma forma estável para calcular P(X=0) é usar o produto das probabilidades sucessivas de retirar não-defeituosos sem reposição:
P(X=0)=\prod_{i=0}^{19}\frac{40-i}{50-i}.
Isso vem de multiplicar as probabilidades condicionais: primeira escolha 40/50, segunda 39/49, …, vigésima 21/31.
Vamos calcular esse produto passo a passo (alguns pontos intermediários mostrados para acompanhar):
  • Após 1 retirada: 0,8.
  • Após 3 retiradas: \dfrac{40\cdot39\cdot38}{50\cdot49\cdot48}\approx0,5040816327.
  • Após 5 retiradas: \dfrac{40\cdots36}{50\cdots46}\approx0,2415488.
  • Após 10 retiradas: valor aproximado \approx0,061944.
  • Após 15 retiradas: valor aproximado \approx0,012774.
  • Após 20 retiradas (produto completo):
P(X=0)\approx 0,0029285.
(Se quiser, isso corresponde ao valor exato \dfrac{\binom{40}{20}}{\binom{50}{20}}, mas calcular diretamente como produto é mais prático para obter o decimal.)

Passo 6

Agora usamos a relação do Passo 4 para obter P(X=1) e P(X\ge2).
P(X=1)=\frac{200}{21}\,P(X=0)\approx\frac{200}{21}\cdot0,0029285\approx0,0278695.
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P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)\approx0,0029285+0,0278695=0,0307980,
P(X\ge2)=1-P(X\le1)\approx1-0,0307980=0,9692020\approx0,9692.

Passo 7

Probabilidade condicional pedida: “Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote” significa condicionar em X\le1. Pedem P(X=0\mid X\le1).
Por definição,
P(X=0\mid X\le1)=\frac{P(X=0)}{P(X\le1)}=\frac{P(X=0)}{P(X=0)+P(X=1)}.
Usando os valores numéricos:
P(X=0\mid X\le1)\approx\frac{0,0029285}{0,0307980}\approx0,09506\approx0,095.

Resposta

0,9692
0,095

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