Os refrigeradores produzidos por uma empresa são vendidos em lotes com 50 unidades. Um determinado lote possui 10 refrigeradores com algum tipo de defeito. O comprador desse lote, sem saber exatamente quantos refrigeradores defeituosos havia, adotou o seguinte procedimento: sorteou uma amostra de 20 refrigeradores para teste. O comprador afirmou que, se na amostra houvesse pelo menos 2 defeituosos, o lote inteiro seria rejeitado.
a) Determine a probabilidade do comprador rejeitar o lote. 0,9692
b) Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote, qual a probabilidade dessa amostra não ter refrigerador defeituoso? 0,095
a) Determine a probabilidade do comprador rejeitar o lote. 0,9692
b) Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote, qual a probabilidade dessa amostra não ter refrigerador defeituoso? 0,095
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Lote com
refrigeradores ( ). - Há
refrigeradores defeituosos no lote ( ). - O comprador sorteia uma amostra de
refrigeradores ( ). - Regra do comprador: rejeita o lote se na amostra houver pelo menos
defeituosos.
Perguntas:
- Qual a probabilidade do comprador rejeitar o lote? (ou seja,
, onde é o número de defeituosos na amostra). - Admitindo que o comprador aceitou o lote (ou seja, que
), qual a probabilidade de que a amostra não tenha refrigerador defeituoso? (ou seja, ).
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Aqui estamos amostrando sem reposição de um lote finito: a variável
(número de defeituosos na amostra de tamanho ) segue a distribuição hipergeométrica. - A probabilidade de obter exatamente
defeituosos na amostra é
Explicando cada símbolo:
-
é o número de maneiras de escolher defeituosos entre os existentes. -
é o número de maneiras de escolher os não defeituosos restantes entre os bons. -
é o número total de amostras de tamanho (denominador que normaliza). - Para esta questão,
, , . Vamos precisar de e ; então .
Passo 3
Escrevendo
e
pela fórmula hipergeométrica:
Então
Passo 4
Simplificação útil (para evitar cálculos enormes com combinações): ligar
a
.
Usamos a identidade combinatória
Usamos a identidade combinatória
pois
. Assim
Portanto
E finalmente
Passo 5
Cálculo numérico de
. Uma forma estável para calcular
é usar o produto das probabilidades sucessivas de retirar não-defeituosos sem reposição:
Isso vem de multiplicar as probabilidades condicionais: primeira escolha
, segunda
, …, vigésima
.
Vamos calcular esse produto passo a passo (alguns pontos intermediários mostrados para acompanhar):
- Após 1 retirada:
. - Após 3 retiradas:
. - Após 5 retiradas:
. - Após 10 retiradas: valor aproximado
. - Após 15 retiradas: valor aproximado
. - Após 20 retiradas (produto completo):
(Se quiser, isso corresponde ao valor exato
, mas calcular diretamente como produto é mais prático para obter o decimal.)
Passo 6
Agora usamos a relação do Passo 4 para obter
e
.
Logo
Passo 7
Probabilidade condicional pedida: “Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote” significa condicionar em
. Pedem
.
Por definição,
Por definição,
Usando os valores numéricos: