Uma linha de carga uniforme
existe ao longo do eixo
. Determine a intensidade de campo elétrico
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está falando de Eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico gerado por uma linha de carga uniforme. A missão aqui é encontrar a intensidade do campo elétrico
no ponto
causado por uma linha de carga com densidade linear
que está ao longo do eixo
. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico produzido por uma linha de carga infinita e fazer alguns cálculos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas. A linha de carga está ao longo do eixo
, então qualquer ponto na linha pode ser descrito por
. O ponto onde queremos calcular o campo elétrico é
. Vamos converter essas medidas para metros para facilitar os cálculos:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a distância entre um ponto genérico na linha de carga
e o ponto
. Essa distância vai influenciar a intensidade do campo elétrico nesse ponto. Usando a fórmula da distância no espaço:
Mas como nosso ponto na linha de carga tem
e
, simplificamos para:
Passo 4
Vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita com densidade linear
é dado pela expressão:
Aqui,
é o campo elétrico infinitesimal gerado por um pequeno trecho
da linha de carga,
é a permissividade do vácuo,
é a distância do trecho ao ponto
e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 5
Para encontrar o campo total
no ponto
, precisamos integrar
ao longo de toda a linha de carga, ou seja, para
indo de
a
. Isso significa somar todos os pequenos campos elétricos gerados por cada ponto da linha:
Passo 6
Vamos simplificar a direção do campo elétrico. Devido à simetria, os componentes do campo nas direções
e
se cancelam, restando apenas a componente na direção
. Portanto, podemos focar apenas nessa componente:
No entanto, devido à simetria, percebemos que a contribuição neta do campo nas direções
se cancela, levando o campo total a ser zero.
Passo 7
Com base na análise de simetria e nos componentes do campo, concluímos que o campo elétrico total no ponto
é nulo.
Resposta
A intensidade do campo elétrico no ponto
é
.