Uma linha de carga uniforme rhol=14 mC / m existe ao longo do eixo x. Determine a intensidade de campo elétrico barE no ponto P(x=2 cm ; y=5 cm ; z=7 cm) (2,5 pto).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está falando de Eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico gerado por uma linha de carga uniforme. A missão aqui é encontrar a intensidade do campo elétrico barE no ponto P(2 cm, 5 cm, 7 cm) causado por uma linha de carga com densidade linear rhol = 14 , mC/m que está ao longo do eixo x. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico produzido por uma linha de carga infinita e fazer alguns cálculos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas. A linha de carga está ao longo do eixo x, então qualquer ponto na linha pode ser descrito por (x, 0, 0). O ponto onde queremos calcular o campo elétrico é P(2 cm, 5 cm, 7 cm). Vamos converter essas medidas para metros para facilitar os cálculos:
xP = 0,02 , m, yP = 0,05 , m, zP = 0,07 , m

Passo 3

Agora, precisamos determinar a distância entre um ponto genérico na linha de carga (x, 0, 0) e o ponto P. Essa distância vai influenciar a intensidade do campo elétrico nesse ponto. Usando a fórmula da distância no espaço:
r = raiz(x - xP)^2 + yP^2 + zP^2
Mas como nosso ponto na linha de carga tem y=0 e z=0, simplificamos para:
r = raiz(x - 0,02)^2 + 0,05^2 + 0,07^2

Passo 4

Vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita com densidade linear rhol é dado pela expressão:
dbarE = 14pivarepsilon0 cdot rhol , dxr^2 cdot r
Aqui, dbarE é o campo elétrico infinitesimal gerado por um pequeno trecho dx da linha de carga, varepsilon0 é a permissividade do vácuo, r é a distância do trecho ao ponto P e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 5

Para encontrar o campo total barE no ponto P, precisamos integrar dbarE ao longo de toda a linha de carga, ou seja, para x indo de -infty a +infty. Isso significa somar todos os pequenos campos elétricos gerados por cada ponto da linha:
barE = integral-infty^+infty 14pivarepsilon0 cdot rhol(x - 0,02)^2 + 0,05^2 + 0,07^2 cdot r , dx

Passo 6

Vamos simplificar a direção do campo elétrico. Devido à simetria, os componentes do campo nas direções y e z se cancelam, restando apenas a componente na direção x. Portanto, podemos focar apenas nessa componente:
Ex = 14pivarepsilon0 cdot rhol cdot integral-infty^+infty (x - 0,02)[(x - 0,02)^2 + 0,05^2 + 0,07^2]^3/2 , dx
No entanto, devido à simetria, percebemos que a contribuição neta do campo nas direções x se cancela, levando o campo total a ser zero.

Passo 7

Com base na análise de simetria e nos componentes do campo, concluímos que o campo elétrico total no ponto P é nulo.

Resposta

A intensidade do campo elétrico no ponto P(2 cm, 5 cm, 7 cm) é barE = 0.

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