Uma linha carregada com 10 \mathrm{nC} / \mathrm{m} está posicionada em x=0 e y=2, enquanto que outra linha carregada com -10 \mathrm{nC} / \mathrm{m} está posicionada em x= 0 e y=-2. Determine \vec{D} na origem.
Resp.: \vec{D}=-1,59 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas linhas infinitas de carga (paralelas ao eixo z) com densidades lineares opostas e posicionadas simetricamente em relação à origem. Pergunta: determinar \vec{D} na origem. Dados fornecidos (vou listar explicitamente):
\text{Linha 1: }\lambda_1=+10\\ \mathrm{nC/m}\quad\text{em }(x,y)=(0,2).
\text{Linha 2: }\lambda_2=-10\\ \mathrm{nC/m}\quad\text{em }(x,y)=(0,-2).
Ponto onde queremos \vec{D}: origem (0,0).

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê. A lei de Gauss para o deslocamento elétrico \vec{D} vale para cargas livres:
\oint_{\mathcal{S}}\vec{D}\cdot d\vec{S}=Q_{\text{livre, dentro}}.
Para uma linha infinita de carga, escolhemos uma superfície cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. A simetria mostra que \vec{D} é radial (no plano xy) e constante na superfície lateral do cilindro, e que o fluxo pelas tampas é nulo (porque \vec{D} é perpendicular às tampas). Assim, só a superfície lateral contribui ao fluxo:
D\cdot(2\pi r L)=\lambda L \quad\Rightarrow\quad D=\frac{\lambda}{2\pi r}.
Explicando as variáveis:
  • \lambda é a densidade linear de carga (C/m).
  • r é a distância do ponto ao eixo da linha (m).
  • D é o módulo de \vec{D} na superfície lateral (C/m ^2).
    A direção de \vec{D} é radial: afasta-se da linha se \lambda>0 e aponta para a linha se \lambda<0.

Passo 3

Aplicando a fórmula à Linha 1 (em (0,2)):
  • Vetor do centro da linha até a origem: (0,0)-(0,2)=(0,-2).
  • Distância r_1=2\\ \mathrm{m}.
  • Versor radial \hat{r}_1=(0,-1).
  • Converter \lambda_1 para SI: \lambda_1=10\\ \mathrm{nC/m}=10\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
    Módulo de \vec{D}_1:
D_1=\frac{\lambda_1}{2\pi r_1}=\frac{10\times10^{-9}}{2\pi\cdot 2}=\frac{10\times10^{-9}}{4\pi}.
Calculemos numericamente:
\frac{10\times10^{-9}}{4\pi}=\frac{2{,}5\times10^{-9}}{\pi}\approx 0{,}7957747\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}.
Convertendo para \mathrm{nC/m^2} (dividindo por 10^{-9}):
D_1\approx 0{,}7958\\ \mathrm{nC/m^2}.
Direção: como \hat{r}_1=(0,-1), temos
\vec{D}_1=(0,-0{,}7958)\\ \mathrm{nC/m^2}.

Passo 4

Aplicando à Linha 2 (em (0,-2)):
  • Vetor do centro da linha até a origem: (0,0)-(0,-2)=(0,+2).
  • Distância r_2=2\\ \mathrm{m}.
  • Versor radial \hat{r}_2=(0,+1).
  • \lambda_2=-10\\ \mathrm{nC/m}=-10\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
    Módulo (valor escalar) usando a mesma fórmula:
D_2=\frac{\lambda_2}{2\pi r_2}=\frac{-10\times10^{-9}}{4\pi} \approx -0{,}7958\\ \mathrm{nC/m^2}.
Direção: \hat{r}_2=(0,+1), então
\vec{D}_2=(0,-0{,}7958)\\ \mathrm{nC/m^2},
pois o escalar é negativo (campo aponta em -\hat{y}).

Passo 5

Somando as contribuições vetoriais (superposição linear válida porque as equações são lineares):
\vec{D}=\vec{D}_1+\vec{D}_2=(0,-0{,}7958)+(0,-0{,}7958)=(0,-1{,}5916)\\ \mathrm{nC/m^2}.
Arredondando de forma consistente com a resposta esperada:
\vec{D}\approx(0,-1{,}59)\\ \mathrm{nC/m^2} = -1{,}59\\ \mathrm{nC/m^2}\,\hat{y}.

Resposta

\vec{D}=-1,59\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}\,\hat{y}

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