Uma linha sem distorção, que opera em 120 MHz, tem
e
. Determine
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma linha de transmissão que opera a 120 MHz, e nos foram dados os valores de resistência $ R = 20 , \Omega/m $, indutância $ L = 0,3 , \muH/m $ e capacitância $ C = 63 , pF/m $. Nosso objetivo é encontrar três coisas: o constante de propagação $ \gamma $, a velocidade de propagação $ u $ e a impedância característica $ Z_0 $ dessa linha. Para resolver isso, vamos usar conceitos de linhas de transmissão e algumas fórmulas básicas de eletricidade e magnetismo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a frequência angular $ \omega $ que está relacionada à frequência do sinal. A fórmula para $ \omega $ é:
Onde $ f $ é a frequência em Hertz.
Como $ f = 120 , MHz $, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos determinar o constante de propagação $ \gamma $. A constante de propagação é uma quantidade complexa que nos dá informações sobre a atenuação e a fase da onda que se propaga na linha. A fórmula para $ \gamma $ é:
No nosso caso, a linha está sem distorção, o que normalmente significa que a condutância $ G = 0 $. Então, a fórmula simplifica para:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para $ \gamma $:
Sabemos que $ j^2 = -1 $, então:
Esse resultado é uma quantidade complexa, onde a parte real representa a atenuação ($ \alpha
\beta $).
Passo 5
Vamos calcular $ \alpha $ e $ \beta $ separadamente. Para isso, precisamos primeiro calcular os valores numéricos.
Primeiro, calculamos $ \omega $:
Agora, substituímos os valores na expressão para $ \gamma $:
Calculando cada termo:
Então:
Para simplificar a raiz quadrada de um número complexo, podemos usar a representação polar ou outras técnicas, mas para fins práticos, podemos considerar que $ \alpha $ é dominado pelo termo real e $ \beta $ pelo term imaginário.
Portanto:
Passo 6
Com $ \beta $ calculada, podemos encontrar a velocidade de propagação $ u $ usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos determinar a impedância característica $ Z_0 $. A fórmula para $ Z_0 $ é:
Substituindo os valores:
Calculando os termos:
Então:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por $ -j $:
A parte real no denominador cancela, e simplificando obtemos aproximadamente:
Resposta
Então, os valores determinados são: