Q3: Numa linha de empacotamento de pregos de aço, cada pacote deve pesar em média 1.000 gramas, com um desvio padrāo de 50 gramas. Por dia, a fábrica é capaz de produzir 10.000 pacotes. Assumindo independência entre pacotes distintos e que tal tamanho amostral é suficiente para utilizar o Teorema Central do Limite, qual é a probabilidade da massa total de pregos empacotados em um dia nāo exceder 9,99 toneladas?
(A) 0,841
(B) 0,309
(C) 0,023
(D) 0,159
(E) 0,977
(A) 0,841
(B) 0,309
(C) 0,023
(D) 0,159
(E) 0,977
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
- Cada pacote tem média de massa
gramas. - Desvio padrão de cada pacote
gramas. - Número de pacotes por dia
. - Pergunta: qual a probabilidade da massa total num dia não exceder
toneladas, isto é, não exceder gramas?
O enunciado pede, portanto, o valor de, onde é a soma das massas dos pacotes.
Passo 2
Estratégia (sem iniciar conta ainda): usar o Teorema Central do Limite para aproximar a distribuição da soma
por uma normal, porque
é grande e os pacotes são assumidos independentes. Fórmulas que vou usar:
e então
é aproximado por uma normal com média
e desvio padrão
. Para calcular a probabilidade, converto para a variável normal padrão usando o escore
:
Passo 3
Calcular a média e o desvio padrão da soma
:
Em toneladas, isso é
.
Logo o desvio padrão da soma é
Passo 4
Transformar o valor pedido em escore
. O limite pedido é
. Então
Interpretação:
toneladas está
desvios-padrão abaixo da média da soma.
Passo 5
Usar a tabela da normal padrão (ou propriedades da normal) para obter a probabilidade:
Pela simetria da normal padrão,
Arredondando para três casas decimais com vírgula (formato do enunciado):
.
Passo 6
Confrontando com as alternativas fornecidas, a opção que coincide é a letra (C) com valor
. Força aí — o resultado veio direitinho porque a soma tem desvio relativamente pequeno (
kg), então ficar
kg abaixo da média é raro (2 desvios), por isso a probabilidade pequena.
Resposta
(C)