Q3: Numa linha de empacotamento de pregos de aço, cada pacote deve pesar em média 1.000 gramas, com um desvio padrāo de 50 gramas. Por dia, a fábrica é capaz de produzir 10.000 pacotes. Assumindo independência entre pacotes distintos e que tal tamanho amostral é suficiente para utilizar o Teorema Central do Limite, qual é a probabilidade da massa total de pregos empacotados em um dia nāo exceder 9,99 toneladas?
(A) 0,841
(B) 0,309
(C) 0,023
(D) 0,159
(E) 0,977

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Cada pacote tem média de massa \mu = 1000 gramas.
  • Desvio padrão de cada pacote \sigma = 50 gramas.
  • Número de pacotes por dia n = 10000.
  • Pergunta: qual a probabilidade da massa total num dia não exceder 9{,}99 toneladas, isto é, não exceder 9{,}99\times10^{6} gramas?
    O enunciado pede, portanto, o valor de \mathbb{P}(S_n \le 9{,}99\times10^{6}\\ \text{g}), onde S_n é a soma das massas dos n pacotes.

Passo 2

Estratégia (sem iniciar conta ainda): usar o Teorema Central do Limite para aproximar a distribuição da soma S_n por uma normal, porque n é grande e os pacotes são assumidos independentes. Fórmulas que vou usar:
\mathbb{E}[S_n]=n\mu, \qquad \operatorname{Var}(S_n)=n\sigma^{2},
e então S_n é aproximado por uma normal com média n\mu e desvio padrão \sqrt{n}\,\sigma. Para calcular a probabilidade, converto para a variável normal padrão usando o escore z:
z=\frac{x-\mathbb{E}[S_n]}{\sqrt{\operatorname{Var}(S_n)}}.

Passo 3

Calcular a média e o desvio padrão da soma S_n:
\mathbb{E}[S_n]=n\mu=10000\times1000=10{,}000{,}000\\ \text{g}.
Em toneladas, isso é 10{,}000{,}000\\ \text{g}=10\\ \text{toneladas}.
\operatorname{Var}(S_n)=n\sigma^{2}=10000\times(50)^{2}=10000\times2500=25{,}000{,}000\\ \text{g}^2.
Logo o desvio padrão da soma é
\sqrt{\operatorname{Var}(S_n)}=\sqrt{25{,}000{,}000}=5{,}000\\ \text{g}=5\\ \text{kg}.

Passo 4

Transformar o valor pedido em escore z. O limite pedido é x=9{,}99\times10^{6}\\ \text{g}=9{,}990{,}000\\ \text{g}. Então
z=\frac{9{,}990{,}000 - 10{,}000{,}000}{5{,}000}=\frac{-10{,}000}{5{,}000}=-2.
Interpretação: 9{,}99 toneladas está 2 desvios-padrão abaixo da média da soma.

Passo 5

Usar a tabela da normal padrão (ou propriedades da normal) para obter a probabilidade:
\mathbb{P}(S_n \le 9{,}99\times10^{6}) \approx \Phi(-2).
Pela simetria da normal padrão,
\Phi(-2)=1-\Phi(2)\approx 1-0{,}97725\approx 0{,}02275\approx 0{,}0228.
Arredondando para três casas decimais com vírgula (formato do enunciado): 0{,}023.

Passo 6

Confrontando com as alternativas fornecidas, a opção que coincide é a letra (C) com valor 0{,}023. Força aí — o resultado veio direitinho porque a soma tem desvio relativamente pequeno ( 5 kg), então ficar 10 kg abaixo da média é raro (2 desvios), por isso a probabilidade pequena.

Resposta

(C) 0{,}023

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