Q2: Um sistema de segurança opera com 4 sensores independentes. Na ocorrência de um evento crítico, cada sensor possui uma probabilidade 0,6 de transmitir um sinal de alerta. Para que o alarme geral seja disparado, é necessário que pelo menos 3 sensores transmitam o sinal de alerta simultaneamente. Qual a probabilidade de o alarme ser disparado na ocorréncia de um evento crítico?
(A) 0,346
(B) 0,216
(C) 0,75
(D) 0,086
(E) 0,475

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 4 sensores independentes.
  • Na ocorrência de um evento crítico, cada sensor tem probabilidade 0,6 de transmitir o sinal de alerta.
  • O alarme geral dispara quando pelo menos 3 sensores transmitem o alerta simultaneamente.
O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que o alarme seja disparado na ocorrência de um evento crítico (ou seja, a probabilidade de que pelo menos 3 entre os 4 sensores acionem).

Passo 2

Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática): seja X a variável aleatória que conta quantos sensores, entre os 4, transmitem o alerta. Como os sensores são independentes e cada um tem mesma probabilidade p de sucesso, X segue a distribuição binomial com parâmetros n=4 e p=0,6. A fórmula da probabilidade binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de formas de escolher k sensores dentre n,
  • p é a probabilidade de um sensor transmitir ( p=0,6),
  • 1-p é a probabilidade de um sensor não transmitir ( 1-p=0,4),
  • k é o número de sensores que transmitem.
Breve explicação das combinações: \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. Por exemplo, \binom{4}{3}=\dfrac{4!}{3!1!}=4 e \binom{4}{4}=1.

Passo 3

Calcular a probabilidade de exatamente 3 sensores transmitirem, isto é P(X=3).
Usando a fórmula:
P(X=3)=\binom{4}{3}\,0,6^{3}\,0,4^{1}.
Agora calculo cada parte passo a passo:
\binom{4}{3}=4,
0,6^{3}=0,6\cdot0,6\cdot0,6=0,216,
0,4^{1}=0,4.
Multiplicando:
P(X=3)=4\cdot0,216\cdot0,4.
Primeiro 0,216\cdot0,4=0,0864. Em seguida 4\cdot0,0864=0,3456.
Portanto
P(X=3)=0,3456.

Passo 4

Calcular a probabilidade de exatamente 4 sensores transmitirem, isto é P(X=4).
Usando a fórmula:
P(X=4)=\binom{4}{4}\,0,6^{4}\,0,4^{0}.
Calculo das partes:
\binom{4}{4}=1,
0,6^{4}=0,6\cdot0,6\cdot0,6\cdot0,6=0,1296,
0,4^{0}=1.
Multiplicando:
P(X=4)=1\cdot0,1296\cdot1=0,1296.

Passo 5

Probabilidade do alarme disparar = probabilidade de pelo menos 3 sensores transmitirem, isto é P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4).
Somando os resultados:
P(X\ge 3)=0,3456+0,1296=0,4752.
Arredondando a três casas decimais (como nas alternativas): 0,475.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide é a alternativa (E), que dá 0,475.

Resposta

(E) 0,475

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