Q2: Um sistema de segurança opera com 4 sensores independentes. Na ocorrência de um evento crítico, cada sensor possui uma probabilidade 0,6 de transmitir um sinal de alerta. Para que o alarme geral seja disparado, é necessário que pelo menos 3 sensores transmitam o sinal de alerta simultaneamente. Qual a probabilidade de o alarme ser disparado na ocorréncia de um evento crítico?
(A) 0,346
(B) 0,216
(C) 0,75
(D) 0,086
(E) 0,475
(A) 0,346
(B) 0,216
(C) 0,75
(D) 0,086
(E) 0,475
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
sensores independentes. - Na ocorrência de um evento crítico, cada sensor tem probabilidade
de transmitir o sinal de alerta. - O alarme geral dispara quando pelo menos
sensores transmitem o alerta simultaneamente.
O que o problema pede:
- Calcular a probabilidade de que o alarme seja disparado na ocorrência de um evento crítico (ou seja, a probabilidade de que pelo menos
entre os sensores acionem).
Passo 2
Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática): seja
a variável aleatória que conta quantos sensores, entre os
, transmitem o alerta. Como os sensores são independentes e cada um tem mesma probabilidade
de sucesso,
segue a distribuição binomial com parâmetros
e
. A fórmula da probabilidade binomial é
onde:
-
é o número de formas de escolher sensores dentre , -
é a probabilidade de um sensor transmitir ( ), -
é a probabilidade de um sensor não transmitir ( ), -
é o número de sensores que transmitem.
Breve explicação das combinações:
. Por exemplo,
e
.
Passo 3
Calcular a probabilidade de exatamente
sensores transmitirem, isto é
.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Agora calculo cada parte passo a passo:
Multiplicando:
Primeiro
. Em seguida
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Calcular a probabilidade de exatamente
sensores transmitirem, isto é
.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Calculo das partes:
Multiplicando:
Passo 5
Probabilidade do alarme disparar = probabilidade de pelo menos
sensores transmitirem, isto é
.
Somando os resultados:
Somando os resultados:
Arredondando a três casas decimais (como nas alternativas):
.
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide é a alternativa (E), que dá
.
Resposta
(E)