Q1: No setor de emergència de um certo hospital, tem-se que em 40 \% dos casos é necessária alguma intervençāo cirúrgica. Suponha que em dado dia foram registrados 42 casos. Usando a aproximaçāo da binomial pela normal com correção pela continuidade, determine a probabilidade do número de cirurgias ter sido menor ou igual a 16 .
(A) 0,599
(B) 0,491
(C) 0,462
(D) 0,401
(E) 0,538

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado (pegos do texto):
    • Número de casos no dia: n=42.
    • Probabilidade de ocorrer uma cirurgia em cada caso: p=40\% = 0,40.
  • O enunciado pede:
    • A probabilidade do número de cirurgias ter sido menor ou igual a 16, ou seja, \mathbb{P}(X \le 16), onde X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p.

Passo 2

Modelagem e fórmulas importantes (aula rápida e necessária).
  • A variável X que conta o número de cirurgias é binomial: X \sim \mathrm{Bin}(n,p).
  • Para a binomial, a esperança (média) e a variância são: \mu = \mathbb{E}[X]= n p, \qquad \sigma^2 = \mathrm{Var}(X)= n p(1-p).Aqui n é o número de ensaios independentes e p é a probabilidade de sucesso (cirurgia) em cada ensaio.
  • A aproximação normal é usada quando n é razoavelmente grande e tanto n p quanto n(1-p) são maiores que, digamos, 5; nesse caso X \approx \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).

Passo 3

Calcular \mu e \sigma com os números dados e verificar se a aproximação normal é razoável.
  • Calculemos a média: \mu = n p = 42 \times 0,40 = 16,8.
  • Calculemos a variância e o desvio padrão: \sigma^2 = n p(1-p) = 42 \times 0,40 \times 0,60 = 10,08,
\sigma = \sqrt{10,08}\approx 3,175.
  • Verificação da condição de aproximação: n p = 16,8>5 e n(1-p)=42\times0,6=25,2>5. Portanto a aproximação normal é aceitável.

Passo 4

Explicar e aplicar a correção de continuidade (muito importante para passar de discreto para contínuo).
  • Porque usar correção de continuidade: X é discreto (valores inteiros). Para aproximar \mathbb{P}(X\le 16) por uma normal contínua, devemos incluir o intervalo até meio-unidade acima de 16. Assim: \mathbb{P}(X\le 16)\approx \mathbb{P}\big(Y \le 16,5\big),onde Y\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2).
  • Ou seja, usamos o ponto 16{,}5 como limite superior na aproximação contínua.

Passo 5

Padronizar (transformar em variável normal padrão Z) e calcular o valor z.
  • Fórmula de padronização: Z = \frac{Y-\mu}{\sigma},\qquad Z\sim\mathcal{N}(0,1).
  • Para Y=16{,}5: z = \frac{16{,}5 - 16{,}8}{\sigma} = \frac{-0{,}3}{3{,}175}\approx -0{,}09449.

Passo 6

Encontrar a probabilidade usando a tabela da normal padrão (ou calculadora).
  • Queremos \mathbb{P}(Z \le -0{,}09449). Pela simetria da normal, \mathbb{P}(Z \le -0{,}09449) = 1 - \mathbb{P}(Z \le 0{,}09449).
  • Usando tabela ou calculadora para \mathbb{P}(Z \le 0{,}09449) obtém-se aproximadamente 0{,}5376. Portanto \mathbb{P}(Z \le -0{,}09449)\approx 1 - 0{,}5376 = 0{,}4624.
  • Arredondando ao formato das alternativas: 0{,}462.

Passo 7

Comentário pedagógico rápido (importante para a prova).
  • Se alguém esquecesse a correção de continuidade e aproximasse \mathbb{P}(X\le16) por \mathbb{P}(Y\le16), obteria um z mais negativo e uma probabilidade menor (cerca de 0{,}401), que corresponde à alternativa (D). Por isso o enunciado pede explicitamente a aproximação com correção de continuidade — ela muda o resultado e é a correta aqui.
  • Força aí! Esse tipo de questão aparece direto em prova: calcule média/variância, faça correção de continuidade para ≤ ou ≥ (usar \pm 0{,}5), padronize e leia na tabela.

Resposta

(C) 0,462

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