Q1: No setor de emergència de um certo hospital, tem-se que em
dos casos é necessária alguma intervençāo cirúrgica. Suponha que em dado dia foram registrados 42 casos. Usando a aproximaçāo da binomial pela normal com correção pela continuidade, determine a probabilidade do número de cirurgias ter sido menor ou igual a 16 .
(A) 0,599
(B) 0,491
(C) 0,462
(D) 0,401
(E) 0,538
(A) 0,599
(B) 0,491
(C) 0,462
(D) 0,401
(E) 0,538
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado (pegos do texto):
- Número de casos no dia:
. - Probabilidade de ocorrer uma cirurgia em cada caso:
.
- Número de casos no dia:
- O enunciado pede:
- A probabilidade do número de cirurgias ter sido menor ou igual a
, ou seja, , onde segue a distribuição binomial com parâmetros e .
- A probabilidade do número de cirurgias ter sido menor ou igual a
Passo 2
Modelagem e fórmulas importantes (aula rápida e necessária).
- A variável
que conta o número de cirurgias é binomial: . - Para a binomial, a esperança (média) e a variância são:
Aqui é o número de ensaios independentes e é a probabilidade de sucesso (cirurgia) em cada ensaio. - A aproximação normal é usada quando
é razoavelmente grande e tanto quanto são maiores que, digamos, ; nesse caso
Passo 3
Calcular
e
com os números dados e verificar se a aproximação normal é razoável.
- Calculemos a média:
- Calculemos a variância e o desvio padrão:
- Verificação da condição de aproximação:
e . Portanto a aproximação normal é aceitável.
Passo 4
Explicar e aplicar a correção de continuidade (muito importante para passar de discreto para contínuo).
- Porque usar correção de continuidade:
é discreto (valores inteiros). Para aproximar por uma normal contínua, devemos incluir o intervalo até meio-unidade acima de . Assim: onde . - Ou seja, usamos o ponto
como limite superior na aproximação contínua.
Passo 5
Padronizar (transformar em variável normal padrão
) e calcular o valor
.
- Fórmula de padronização:
- Para
:
Passo 6
Encontrar a probabilidade usando a tabela da normal padrão (ou calculadora).
- Queremos
. Pela simetria da normal, - Usando tabela ou calculadora para
obtém-se aproximadamente . Portanto - Arredondando ao formato das alternativas:
.
Passo 7
Comentário pedagógico rápido (importante para a prova).
- Se alguém esquecesse a correção de continuidade e aproximasse
por , obteria um mais negativo e uma probabilidade menor (cerca de ), que corresponde à alternativa (D). Por isso o enunciado pede explicitamente a aproximação com correção de continuidade — ela muda o resultado e é a correta aqui. - Força aí! Esse tipo de questão aparece direto em prova: calcule média/variância, faça correção de continuidade para ≤ ou ≥ (usar
), padronize e leia na tabela.
Resposta
(C)