Q4: Seja
uma variável aleatória discreta qualquer e
, ou seja, o conjunto formado por todos os possiveis valores que
pode assumir com probabilidade positiva. Assinale a única alternativa correta:
(A)
é um número pertencente a
.
(B)
não pode possuir valores negativos.
(C)
pode ser tanto finito quanto infinito.
(D)
precisa ser um subconjunto do conjunto dos números inteiros
.
(E)
nāo pode ser infinito.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá uma variável aleatória discreta
e define o conjunto
ou seja, o conjunto dos valores que
pode assumir com probabilidade positiva. Pede-se para assinalar a única alternativa correta entre (A), (B), (C), (D) e (E). As alternativas são:
(A)
é um número pertencente a
.
(B)
não pode possuir valores negativos.
(C)
pode ser tanto finito quanto infinito.
(D)
precisa ser um subconjunto do conjunto dos números inteiros
.
(E)
não pode ser infinito.
Passo 2
Conceito importante (aula curta): para uma variável aleatória discreta
, o valor esperado (esperança) é definido por
quando essa soma (possivelmente infinita) converge absolutamente ou condicionalmente conforme o caso. Aqui cada símbolo significa:
-
são os valores possíveis de (elementos de ); -
é a probabilidade associada ao valor ; - a soma é tomada sobre todos os
em .
Observação intuitiva:
é uma média ponderada dos valores possíveis, mas uma média nem sempre coincide com um dos valores da lista; pode ficar “entre” eles.
Passo 3
Verificação da alternativa (A). Afirmação:
. Isso é falso em geral. Contraponto com um exemplo simples (contraexemplo):
- Seja
Bernoulli com e . Então . - O valor esperado é
Aqui
e
. Logo (A) é falsa. Conclusão: a esperança não precisa pertencer ao suporte.
Passo 4
Verificação da alternativa (B). Afirmação:
não pode possuir valores negativos. Isso é falso: nada impede que uma variável discreta tome valores negativos. Exemplo:
- Seja
tal que . Então , que contém um valor negativo. Portanto (B) é falsa.
Passo 5
Verificação da alternativa (D). Afirmação:
. Isso também é falso: uma variável discreta pode assumir valores reais que não são inteiros. Exemplo:
- Seja
com e . Então , que não é subconjunto de . Logo (D) é falsa.
Passo 6
Verificação das alternativas (C) e (E), que são opostas na prática. (C) diz que
pode ser finito ou infinito; (E) diz que
não pode ser infinito. Para decidir, basta dar exemplos dos dois tipos.
Exemplo de
finito:
- Lançar um dado justo leva a
, ou seja tem 6 elementos (finito).
Exemplo de
infinito (contável):
- Variável geométrica com parâmetro
: para . Aqui , que é infinito (contável). - Outro exemplo: Poisson com
.
Portanto
pode ser finito (como o dado) ou infinito (como a geométrica ou Poisson). Logo (C) é verdadeira e (E) é falsa.
Passo 7
Resumo lógico das verificações:
- (A) falsa (contraponto: Bernoulli com esperança não pertencente ao suporte).
- (B) falsa (contraponto: variável que assume apenas valor negativo).
- (C) verdadeira (existem exemplos de suporte finito e de suporte infinito).
- (D) falsa (contraponto: suporte com valores não inteiros).
- (E) falsa (contraponto: geométrica, Poisson, etc., mostram suporte infinito possível).
Resposta
(C)