Q4: Seja X uma variável aleatória discreta qualquer e \Omega_{X}= \{x \in \mathbb{R} \mid P(X=x)>0\}, ou seja, o conjunto formado por todos os possiveis valores que X pode assumir com probabilidade positiva. Assinale a única alternativa correta:
(A) E[X] é um número pertencente a \Omega_{X}.
(B) \Omega_{X} não pode possuir valores negativos.
(C) \Omega_{X} pode ser tanto finito quanto infinito.
(D) \Omega_{X} precisa ser um subconjunto do conjunto dos números inteiros \mathbb{Z}.
(E) \Omega_{X} nāo pode ser infinito.

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória discreta X e define o conjunto
\Omega_{X}=\{x\in\mathbb{R}\mid P(X=x)>0\},
ou seja, o conjunto dos valores que X pode assumir com probabilidade positiva. Pede-se para assinalar a única alternativa correta entre (A), (B), (C), (D) e (E). As alternativas são:
(A) E[X] é um número pertencente a \Omega_{X}.
(B) \Omega_{X} não pode possuir valores negativos.
(C) \Omega_{X} pode ser tanto finito quanto infinito.
(D) \Omega_{X} precisa ser um subconjunto do conjunto dos números inteiros \mathbb{Z}.
(E) \Omega_{X} não pode ser infinito.

Passo 2

Conceito importante (aula curta): para uma variável aleatória discreta X, o valor esperado (esperança) é definido por
E[X]=\sum_{x\in\Omega_X} x\,P(X=x),
quando essa soma (possivelmente infinita) converge absolutamente ou condicionalmente conforme o caso. Aqui cada símbolo significa:
  • x são os valores possíveis de X (elementos de \Omega_X);
  • P(X=x) é a probabilidade associada ao valor x;
  • a soma é tomada sobre todos os x em \Omega_X.
Observação intuitiva: E[X] é uma média ponderada dos valores possíveis, mas uma média nem sempre coincide com um dos valores da lista; pode ficar “entre” eles.

Passo 3

Verificação da alternativa (A). Afirmação: E[X]\in\Omega_X. Isso é falso em geral. Contraponto com um exemplo simples (contraexemplo):
  • Seja X Bernoulli com P(X=0)=\tfrac12 e P(X=1)=\tfrac12. Então \Omega_X=\{0,1\}.
  • O valor esperado é
E[X]=0\cdot\tfrac12+1\cdot\tfrac12=\tfrac12.
Aqui E[X]=\tfrac12 e \tfrac12\notin\{0,1\}=\Omega_X. Logo (A) é falsa. Conclusão: a esperança não precisa pertencer ao suporte.

Passo 4

Verificação da alternativa (B). Afirmação: \Omega_X não pode possuir valores negativos. Isso é falso: nada impede que uma variável discreta tome valores negativos. Exemplo:
  • Seja X tal que P(X=-1)=1. Então \Omega_X=\{-1\}, que contém um valor negativo. Portanto (B) é falsa.

Passo 5

Verificação da alternativa (D). Afirmação: \Omega_X\subseteq\mathbb{Z}. Isso também é falso: uma variável discreta pode assumir valores reais que não são inteiros. Exemplo:
  • Seja X com P(X=0{,}5)=\tfrac12 e P(X=1{,}5)=\tfrac12. Então \Omega_X=\{0{,}5,\,1{,}5\}, que não é subconjunto de \mathbb{Z}. Logo (D) é falsa.

Passo 6

Verificação das alternativas (C) e (E), que são opostas na prática. (C) diz que \Omega_X pode ser finito ou infinito; (E) diz que \Omega_X não pode ser infinito. Para decidir, basta dar exemplos dos dois tipos.
Exemplo de \Omega_X finito:
  • Lançar um dado justo leva a X\in\{1,2,3,4,5,6\}, ou seja \Omega_X tem 6 elementos (finito).
Exemplo de \Omega_X infinito (contável):
  • Variável geométrica com parâmetro p\in(0,1]: P(X=k)=(1-p)^{k-1}p para k=1,2,3,\dots. Aqui \Omega_X=\{1,2,3,\dots\}, que é infinito (contável).
  • Outro exemplo: Poisson com \Omega_X=\{0,1,2,\dots\}.
Portanto \Omega_X pode ser finito (como o dado) ou infinito (como a geométrica ou Poisson). Logo (C) é verdadeira e (E) é falsa.

Passo 7

Resumo lógico das verificações:
  • (A) falsa (contraponto: Bernoulli com esperança não pertencente ao suporte).
  • (B) falsa (contraponto: variável que assume apenas valor negativo).
  • (C) verdadeira (existem exemplos de suporte finito e de suporte infinito).
  • (D) falsa (contraponto: suporte com valores não inteiros).
  • (E) falsa (contraponto: geométrica, Poisson, etc., mostram suporte infinito possível).

Resposta

(C)

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