Em uma linha horizontal estão marcados pontos de A até G, com intervalo de um centímetro cada. Sabe-se que o período de oscilação desse móvel é de 2 s , e que no instante 0,5 s ele está no ponto G. Escreva a equação da velocidade desse móvel.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que precisamos.
– Enunciado: pontos A, B, C, D, E, F, G estão numa linha, cada par vizinho 1 cm de distância. O móvel faz um MHS com período x(t)=Acos(omega t+varphi) s e, em s, ele está parado em G (ou seja, na extremidade do trajeto).
– Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS), onde a posição se escreve geralmente como
e a velocidade é .
– O que vamos precisar: amplitude , posição de equilíbrio, frequência angular , fase inicial e a condição inicial (em s, está em G).

Passo 2

Encontrar a posição de equilíbrio e a amplitude.
  1. A–G tem 6 intervalos de 1 cm, logo A está em 0 cm e G em 6 cm numa escala qualquer.
  2. O ponto médio (equilíbrio) é D a 3 cm de A.
  3. A amplitude é a distância do equilíbrio até G:
A = 6 rm cm - 3 rm cm = 3 rm cm
Ou seja, cm.

Passo 3

Calcular a frequência angular omega = 2piT = 2pi2 = pi rm rad/s .
Pelo período s vale

Passo 4

Achar a fase inicial x(t) = Acos(omega t + varphi), usando a condição de que em Acosl(picdot 0,5 + varphir) = A Longrightarrow cosl(tfracpi2 + varphir) = 1 s o móvel está em G, ou seja em tfracpi2 + varphi = 2pi k Longrightarrow varphi = -tfracpi2 .
Escrevendo
em s temos
Isso ocorre se
(escolhendo ou , a gente pega a fase mais simples ).

Passo 5

Montar x(t)=Asin(pi t) e obter v(t)=ddtl[Asin(pi t)r] = Acdotpicos(pi t) .
  1. v(t)=3picos(pi t)l[cm/sr] .
  2. Lembrando que , dá
  3. Agora a velocidade é a derivada:
Substituindo cm,

Resposta

boxedv(t)=3picosl(pi,tr) rm cm/s

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