Seja f(x, y)=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)+x \cdot y. (a) Calcule \nabla f(P). (b) Determine a direção unitária de maior crescimento em P e a respectiva taxa máxima. (c) Use \mathrm{P}=(0,2) e \mathrm{Q}=(-2,3) e calcule a derivada direcional.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
f(x,y)=\ln\bigl(1+x^2+y^2\bigr)+x\,y.
Precisamos
(a) calcular \nabla f(P) de forma geral;
(b) determinar a direção unitária de maior crescimento em P e a taxa máxima de variação;
(c) usando P=(0,2) e Q=(-2,3), calcular a derivada direcional de f em P na direção de Q.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+x^2+y^2}\cdot 2x + y =\frac{2x}{1+x^2+y^2}+y,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+x^2+y^2}\cdot 2y + x =\frac{2y}{1+x^2+y^2}+x.