Seja f(x, y)=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)+x \cdot y. (a) Calcule \nabla f(P). (b) Determine a direção unitária de maior crescimento em P e a respectiva taxa máxima. (c) Use \mathrm{P}=(0,2) e \mathrm{Q}=(-2,3) e calcule a derivada direcional.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x,y)=\ln\bigl(1+x^2+y^2\bigr)+x\,y.
Precisamos
(a) calcular \nabla f(P) de forma geral;
(b) determinar a direção unitária de maior crescimento em P e a taxa máxima de variação;
(c) usando P=(0,2) e Q=(-2,3), calcular a derivada direcional de f em P na direção de Q.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+x^2+y^2}\cdot 2x + y =\frac{2x}{1+x^2+y^2}+y,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+x^2+y^2}\cdot 2y + x =\frac{2y}{1+x^2+y^2}+x.
Logo,
\nabla f(x,y) =\Bigl(\tfrac{2x}{1+x^2+y^2}+y,\;\tfrac{2y}{1+x^2+y^2}+x\Bigr).

Passo 3

Em um ponto P, a direção de maior crescimento é o gradiente normalizado:
\mathbf{u} =\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|},
e a taxa máxima de variação é
\max Df(P)=\|\nabla f(P)\|.

Passo 4

Avaliando em P=(0,2):
\nabla f(0,2) =\Bigl(\tfrac{2\cdot0}{1+0+4}+2,\;\tfrac{2\cdot2}{1+0+4}+0\Bigr) =(2,\tfrac{4}{5}),
\|\nabla f(0,2)\| =\sqrt{2^2+\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^2} =\frac{2\sqrt{29}}{5},
\text{direção unitária} =\frac{(2,\tfrac{4}{5})}{2\sqrt{29}/5} =\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt{29}},\tfrac{2}{\sqrt{29}}\Bigr).çãá

Passo 5

Para a derivada direcional em P=(0,2) na direção de Q=(-2,3) usamos
\overrightarrow{PQ}=(-2,1), \quad \mathbf{u}_{PQ}=\frac{(-2,1)}{\sqrt{(-2)^2+1^2}} =\Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\Bigr).
Então
D_{\mathbf{u}_{PQ}}f(0,2) =(2,\tfrac{4}{5})\cdot\Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) =-\frac{16}{5\sqrt{5}}.

Resposta

(a) \displaystyle\nabla f(x,y)=\bigl(\tfrac{2x}{1+x^2+y^2}+y,\;\tfrac{2y}{1+x^2+y^2}+x\bigr).
(b) \displaystyle \mathbf{u}=\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|},\quad \max Df(P)=\|\nabla f(P)\|.
(c) \displaystyle D_{\mathbf{u}_{PQ}}f(0,2)=-\frac{16}{5\sqrt{5}}.

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