Uma linha infinita de cargas produz um campo de módulo 16,1 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} a uma distância 6,6 \mathrm{~m}. Calcule a densidade linear de cargas. Expresse sua resposta em \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} e responda com 3 algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado dá uma linha infinita de carga que produz um campo elétrico de módulo 16,1\times10^{4}\\ \mathrm{N/C} a uma distância 6,6\\ \mathrm{m}. Pede-se calcular a densidade linear de carga (ou seja, a carga por unidade de comprimento) e expressar o resultado em \mu\mathrm{C}/\mathrm{m} com 3 algarismos significativos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Campo elétrico: E = 16,1\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
  • Distância ao fio: r = 6,6\\ \mathrm{m}.
  • Resultado pedido: \lambda em \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}, com 3 algarismos significativos.

Passo 2

Qual fórmula usar? Para uma linha infinita de carga, o campo elétrico a uma distância r do fio é dado por (deriva de Gauss, que explico abaixo):
E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
Aqui:
  • E é o módulo do campo elétrico (N/C),
  • \lambda é a densidade linear de carga (C/m) que queremos,
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0 \approx 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}),
  • r é a distância ao fio (m).
Breve explicação didática (Gauss, versão mastigada): imagine um cilindro coaxial com o fio, de raio r e comprimento L. O fluxo elétrico pela superfície lateral é E\cdot(2\pi r L) (campo radial constante ao longo da lateral). A carga total dentro é \lambda L. Pela Lei de Gauss, fluxo = carga/ \varepsilon_0. Assim E(2\pi r L)=\lambda L/\varepsilon_0. Cancelando L obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Isolar \lambda na fórmula:
\lambda = E\cdot 2\pi\varepsilon_0 r.
Agora vamos substituir os números fornecidos.

Passo 4

Primeiro, organizar os valores em notação conveniente:
E = 16,1\times10^{4}\\ \mathrm{N/C} = 1,61\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}, \qquad r = 6,6\\ \mathrm{m}, \qquad \varepsilon_0 = 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
Calcular passo a passo (mantendo números explícitos para você poder reproduzir sem pular etapas):
  1. Calcular 2\pi\varepsilon_0:
2\pi\varepsilon_0 \approx 6{,}283185307\cdot 8{,}854187817\times10^{-12} \approx 5{,}563250309\times10^{-11}.
  1. Multiplicar por r:
2\pi\varepsilon_0 r \approx 5{,}563250309\times10^{-11}\cdot 6{,}6 \approx 3{,}671745204\times10^{-10}.
  1. Multiplicar por E para obter \lambda:
\lambda = E\cdot(2\pi\varepsilon_0 r) \approx 1{,}61\times10^{5}\cdot 3{,}671745204\times10^{-10} \approx 5{,}911509778\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m}.
  1. Converter para \mu\mathrm{C}/\mathrm{m} (lembrando que 1\\ \mathrm{C}=10^{6}\\ \mu\mathrm{C}):
\lambda \approx 5{,}911509778\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m} = 59{,}11509778\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}.
  1. Arredondar para 3 algarismos significativos: 59{,}1\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}.

Passo 5

Verificação rápida de ordem de grandeza: campo razoável e distância grande; densidade linear da ordem de 10^{1}\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m} faz sentido para obter campos da ordem 10^{5}\\ \mathrm{N/C}. Está consistente.

Resposta

59{,}1\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}

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