Uma linha infinita, carregada com densidade linear rhoL=25 nC / m, está situada, no vácuo, sobre areta x=-3, z=4. Determinar E em componentes cartesianas:
(a) na origem;
(b) no ponto P1(2,15,3);
© no ponto P2(rho=4, phi=60^circ, z=2).

Passo 1

Beleza, então o problema diz: temos uma linha infinita carregada com densidade linear
rhoL = 25,nC/m
e essa linha fica paralela ao eixo y, passando pela reta x=-3, z=4 no vácuo. A missão é achar o campo elétrico vec E em componentes cartesianas em três pontos:
(a) na origem (0,0,0);
(b) em P1=(2,15,3);
© em P2 que está dado em coordenadas cilíndricas (rho=4,phi=60^circ,z=2).
Conteúdo e o que precisamos:
  • Campo de uma linha infinita de carga (simetria e Lei de Gauss)
  • Como montar o vetor posição perpendicular à linha
  • Como achar magnitude e direção (vetor unitário)
  • Converter coordenadas cilíndricas em cartesianas (só no caso do P2)

Passo 2

Teoria rapidinha:
  1. Pelo problema da linha infinita, sabemos (da Lei de Gauss) que o campo em módulo é
E = rhoL2pivarepsilon0,R,
onde R é a distância perpendicular da linha até o ponto.
2) A direção do campo é radial (ou seja, sai da linha), no plano perpendicular ao eixo y. Então, se tomarmos um ponto genérico da linha como (-3,y',4) e nosso ponto de interesse (x,y,z), o vetor perpendicular é
vec rperp ;=; (x - (-3)),hatimath ;+; (z - 4),hat k ;=;(x+3),hatimath;+;(z-4),hat k
  1. O módulo dessa distância é
R = |vec rperp| = raiz(x+3)^2 + (z-4)^2,
  1. O vetor unitário é
hat R = vec rperpR
  1. Por fim,
vec E = rhoL2pivarepsilon0,R,hat R
Agora é só aplicar isso ponto a ponto, sem esquecer que não tem componente em hatjmath (eixo y).

Passo 3

(a) Ponto na origem (0,0,0):
  • vec rperp = (0+3),hatimath + (0-4),hat k = 3,hatimath - 4,hat k.
  • R = raiz3^2 + (-4)^2 = 5.
  • hat R = 15(3,hatimath - 4,hat k).
  • Módulo do campo: E = 25times10^-92pi,(8,85times10^-12)times5 approx 90 N/C
  • Então vec E(0,0,0) = 90;15(3,hatimath - 4,hat k) = (54,hatimath - 72,hat k) N/C

Passo 4

(b) P1=(2,15,3):
  • vec rperp = (2+3),hatimath + (3-4),hat k = 5,hatimath - 1,hat k.
  • R = raiz5^2 + (-1)^2 = raiz26approx 5,10.
  • hat R = 1raiz26(5,hatimath - 1,hat k).
  • Módulo do campo: E = 25times10^-92pi,(8,85times10^-12),raiz26 approx 4505,10 approx 88,3 N/C
  • Então vec E(2,15,3) = 88,3;1raiz26(5,hatimath - 1,hat k) approx (86,6,hatimath - 17,3,hat k) N/C

Passo 5

© P2 em cilíndricas (rho=4,phi=60^circ,z=2) vira, em cartesianas:
x = 4cos60^circ = 2, y = 4sin60^circ = 2raiz3 approx3,46, z = 2
  • vec rperp = (2+3),hatimath + (2-4),hat k = 5,hatimath - 2,hat k.
  • R = raiz5^2 + (-2)^2 = raiz29approx5,39.
  • hat R = 1raiz29(5,hatimath - 2,hat k).
  • Módulo do campo: E = 25times10^-92pi,(8,85times10^-12),raiz29 approx 4505,39 approx 83,6 N/C
  • Então vec E(P2) = 83,6;1raiz29(5,hatimath - 2,hat k) approx (77,6,hatimath - 31,0,hat k) N/C

Resposta

(a) vec E(0,0,0) = (54,hatimath - 72,hat k) N/C.
(b) vec E(2,15,3) approx (86,6,hatimath - 17,3,hat k) N/C.
© vec E(P2) approx (77,6,hatimath - 31,0,hat k) N/C.

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