Em uma linha de montagem de módulos de controle, cada unidade final exige exatamente a sensores do tipo A e b sensores do tipo B para passar no teste de qualidade. A capacidade efetiva de produção, portanto, é limitada pelo insumo em gargalo, podendo ser representada por
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=\min \left\{\frac{x_{1}}{a}, \frac{x_{2}}{b}\right\},
em que x_{1} e x_{2} são as quantidades adquiridas dos sensores A e B , com preços p_{1} e p_{2}, e orçamento total m (isto é, p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=m ).
(a) Determine a demanda Marshall \left(x_{1}^{M}, x_{2}^{M}\right) e o número máximo de módulos viáveis com o orçamento m.
(b) Resolva o problema dual de minimização de despesa para atingir um nível alvo \bar{u} (demanda Hicksiana h(p, \bar{u}) e função despesa e(p, \bar{u}) ).
(c) Suponha um aumento no preço do sensor \mathrm{A}, p_{1} \rightarrow p_{1}^{\prime}>p_{1}. Calcule a variação compensatória V C=e\left(p^{\prime}, u_{0}\right)-e\left(p, u_{0}\right), onde u_{0} é o nível de utilidade no ponto ótimo inicial.
(d) Represente graficamente a solução ótima, destacando (i) o ponto em canto dado por proporções fixas e (ii) a iso-despesa tangenciando o “L” da indiferença.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas listadas a seguir.
Informações dadas:
  • Cada unidade final requer exatamente a sensores do tipo A e b sensores do tipo B.
  • A função que representa unidades viáveis é U\left(x_{1},x_{2}\right)=\min\left\{\frac{x_{1}}{a},\frac{x_{2}}{b}\right\},
onde x_{1} e x_{2} são quantidades compradas dos sensores A e B.
  • Preços: p_{1} para A e p_{2} para B.
  • Orçamento total: m, com a restrição orçamentária p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.
Perguntas:
(a) Determinar a demanda Marshall \left(x_{1}^{M},x_{2}^{M}\right) que maximiza U dado o orçamento m, e o número máximo de módulos viáveis com esse orçamento.
(b) Resolver o problema dual de minimização de despesa para atingir um nível alvo \bar{u}: encontrar a demanda Hicksiana h(p,\bar{u}) e a função despesa e(p,\bar{u}).
(c) Para um aumento de preço p_{1}\to p_{1}^\prime>p_{1}, calcular a variação compensatória VC=e(p^\prime,u_{0})-e(p,u_{0}), onde u_{0} é o nível de utilidade no ótimo inicial.
(d) Representar graficamente a solução ótima, destacando (i) o ponto em canto dado por proporções fixas e (ii) a iso-despesa tangenciando o “L” da indiferença.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Intuição sobre a utilidade \min-tipo (Leontief / complementos perfeitos). Vou explicar devagar porque isso é o ponto chave.
  • A função U(x_{1},x_{2})=\min\!\left\{\dfrac{x_{1}}{a},\dfrac{x_{2}}{b}\right\} diz que a produção de módulos é limitada pelo insumo em gargalo: se houver muita A mas pouca B, o excesso de A não aumenta U, e vice‑versa.
  • Se definirmos t=\min\!\left\{\dfrac{x_{1}}{a},\dfrac{x_{2}}{b}\right\}, isso significa que, para atingir um certo t, é necessário ter pelo menos x_{1}\ge a t e x_{2}\ge b t.
  • Portanto, gasto extra em um insumo além de a t ou b t é desperdiçado no sentido de não aumentar U. Logo, para qualquer nível t buscado é ótimo escolher exatamente x_{1}=a t e x_{2}=b t (não colocar sobra de um lado).
  • Essa observação resolve qualitativamente os dois problemas (maximização sob orçamento e minimização de despesa): sempre trabalhar com as proporções fixas x_{1}:x_{2}=a:b.

Passo 3

Resolver (a) — maximização de U com orçamento m.
  • Pelo raciocínio do Passo 2, em qualquer solução ótima deve ocorrer igualdade de proporções:
\frac{x_{1}}{a}=\frac{x_{2}}{b}=t,
onde t é o número de módulos produzidos (o próprio valor de U no ponto).
  • Assim x_{1}=a t e x_{2}=b t. Substituindo na restrição orçamentária p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m,
temos
p_{1}(a t)+p_{2}(b t)=m.
  • Isolando t:
t=\frac{m}{p_{1}a+p_{2}b}.
  • Logo as demandas Marshallianas são
x_{1}^{M}=a t=\frac{a m}{p_{1}a+p_{2}b}, \qquad x_{2}^{M}=b t=\frac{b m}{p_{1}a+p_{2}b},
e o número máximo de módulos viáveis (utilidade máxima) é
U_{\max}=t=\frac{m}{p_{1}a+p_{2}b}.
(Comentário prático: não compensa comprar além de a t ou b t porque isso não aumenta U e só consome orçamento.)

Passo 4

Derivação alternativa curta (Lagrangiano intuitivo) — para aprender um método padrão que pode aparecer na prova.
  • Se tentássemos escrever o problema como maximizar t com x_{1}\ge a t, x_{2}\ge b t e p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\le m, a solução interior dos multiplicadores nos levaria à igualdade x_{1}=a t e x_{2}=b t (porque qualquer sobra aumenta custo sem aumentar t).
  • Depois substituímos na restrição orçamentária para obter t igual à expressão do Passo 3. Isso confirma o resultado por um método de otimização padrão.

Passo 5

Resolver (b) — problema dual de minimização de despesa para alcançar \bar{u}.
  • Para obter U\ge\bar{u} é necessário e suficiente ter x_{1}\ge a\bar{u} e x_{2}\ge b\bar{u}.
  • Minimizar p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} sujeito a essas desigualdades é óbvio: escolha exatamente as quantidades necessárias, sem sobra:
h(p,\bar{u})=\bigl(a\bar{u},\;b\bar{u}\bigr).
  • A função despesa (custo mínimo para alcançar \bar{u}) é
e(p,\bar{u})=p_{1}(a\bar{u})+p_{2}(b\bar{u})=(p_{1}a+p_{2}b)\,\bar{u}.

Passo 6

Resolver (c) — variação compensatória VC quando p_{1} aumenta para p_{1}^\prime>p_{1}.
  • Primeiro note o nível inicial de utilidade u_{0} no ótimo inicial (com preços originais) é o U_{\max} do Passo 3:
u_{0}=\frac{m}{p_{1}a+p_{2}b}.
  • A despesa necessária para manter u_{0} com os preços novos p'=(p_{1}^\prime,p_{2}) é, pela fórmula do Passo 5,
e(p^\prime,u_{0})=(p_{1}^\prime a+p_{2}b)\,u_{0}.
  • A despesa original para esse u_{0} (com preços originais) é
e(p,u_{0})=(p_{1}a+p_{2}b)\,u_{0}=m,
porque u_{0} foi exatamente o nível atingido com o orçamento m.
  • Portanto a variação compensatória é
VC=e(p^\prime,u_{0})-e(p,u_{0})=(p_{1}^\prime a+p_{2}b-p_{1}a-p_{2}b)\,u_{0}=a\,(p_{1}^\prime-p_{1})\,u_{0}.
  • Substituindo u_{0} em termos de m dá a forma útil
VC=\frac{a\,(p_{1}^\prime-p_{1})\,m}{p_{1}a+p_{2}b}.
(Interpretação curta: para manter o mesmo número de módulos, cada módulo demanda a sensores A, logo cada aumento unitário do preço de A aumenta o custo por módulo em a(p_{1}^\prime-p_{1}); multiplicando pelo número de módulos u_{0} dá o compensador total.)

Passo 7

Resolver (d) — representação gráfica e interpretação (descrição que permite desenhar o gráfico pedido).
  • Eixos: coloque x_{1} no eixo horizontal e x_{2} no eixo vertical.
  • Indiferenças (níveis de U): são curvas em “L” (Leontief). Para um nível u a curva tem um canto no ponto (a u,\; b u); a curva consiste da união do segmento horizontal que parte de (a u,b u) para a direita e do segmento vertical que parte do mesmo ponto para cima.
  • Linha orçamentária: reta com equação p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m, inclinação -p_{1}/p_{2}.
  • Solução ótima: o orçamento corta a família de “L” e o máximo U ocorre quando a reta orçamentária intersecta o canto de algum “L”. Assim:
    (i) o ponto em canto dado por proporções fixas é exatamente \bigl(a U_{\max},\; b U_{\max}\bigr)=\Bigl(\dfrac{a m}{p_{1}a+p_{2}b},\dfrac{b m}{p_{1}a+p_{2}b}\Bigr);
    (ii) geometricamente a iso‑despesa (linha orçamentária) tangencia o “L” no canto — não há tangência suave como em preferências diferenciáveis, mas a reta toca o “L” no vértice e qualquer pequeno movimento ao longo dos braços do “L” reduz U ou viola o orçamento.
  • Desenho prático: desenhar os vários “L” de níveis crescentes, traçar a reta orçamentária; o ponto de tangência é o canto que está mais distante da origem tocado pela reta (isto é, o canto com maior u tal que p_{1}(a u)+p_{2}(b u)\le m).

Resposta

(a) x_{1}^{M}=\dfrac{a m}{p_{1}a+p_{2}b},\quad x_{2}^{M}=\dfrac{b m}{p_{1}a+p_{2}b},\quad U_{\max}=\dfrac{m}{p_{1}a+p_{2}b}.
(b) h(p,\bar{u})=\bigl(a\bar{u},\,b\bar{u}\bigr),\quad e(p,\bar{u})=(p_{1}a+p_{2}b)\,\bar{u}.
(c) VC=e(p^\prime,u_{0})-e(p,u_{0})=a\,(p_{1}^\prime-p_{1})\,u_{0}=\dfrac{a\,(p_{1}^\prime-p_{1})\,m}{p_{1}a+p_{2}b}.
(d) Gráfico: eixos x_{1} (horizontal) e x_{2} (vertical); curvas de indiferença em “L” com canto em (a u,b u); linha orçamentária p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m toca um “L” no seu vértice \bigl(aU_{\max},bU_{\max}\bigr). Aqui (i) o ponto em canto são as proporções fixas \bigl(aU_{\max},bU_{\max}\bigr) e (ii) a iso-despesa tangencia o “L” precisamente nesse vértice.

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