Em uma linha de montagem de módulos de controle, cada unidade final exige exatamente
sensores do tipo A e
sensores do tipo B para passar no teste de qualidade. A capacidade efetiva de produção, portanto, é limitada pelo insumo em gargalo, podendo ser representada por
em que
e
são as quantidades adquiridas dos sensores A e B , com preços
e
, e orçamento total
(isto é,
).
(a) Determine a demanda Marshall
e o número máximo de módulos viáveis com o orçamento
.
(b) Resolva o problema dual de minimização de despesa para atingir um nível alvo
(demanda Hicksiana
e função despesa
).
(c) Suponha um aumento no preço do sensor
. Calcule a variação compensatória
, onde
é o nível de utilidade no ponto ótimo inicial.
(d) Represente graficamente a solução ótima, destacando (i) o ponto em canto dado por proporções fixas e (ii) a iso-despesa tangenciando o “L” da indiferença.
(a) Determine a demanda Marshall
(b) Resolva o problema dual de minimização de despesa para atingir um nível alvo
(c) Suponha um aumento no preço do sensor
(d) Represente graficamente a solução ótima, destacando (i) o ponto em canto dado por proporções fixas e (ii) a iso-despesa tangenciando o “L” da indiferença.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas listadas a seguir.
Informações dadas:
- Cada unidade final requer exatamente
sensores do tipo A e sensores do tipo B. - A função que representa unidades viáveis é
onde
e
são quantidades compradas dos sensores A e B.
- Preços:
para A e para B. - Orçamento total:
, com a restrição orçamentária
Perguntas:
(a) Determinar a demanda Marshall que maximiza
dado o orçamento
, e o número máximo de módulos viáveis com esse orçamento.
(b) Resolver o problema dual de minimização de despesa para atingir um nível alvo : encontrar a demanda Hicksiana
e a função despesa
.
(c) Para um aumento de preço , calcular a variação compensatória
, onde
é o nível de utilidade no ótimo inicial.
(d) Representar graficamente a solução ótima, destacando (i) o ponto em canto dado por proporções fixas e (ii) a iso-despesa tangenciando o “L” da indiferença.
(a) Determinar a demanda Marshall
(b) Resolver o problema dual de minimização de despesa para atingir um nível alvo
(c) Para um aumento de preço
(d) Representar graficamente a solução ótima, destacando (i) o ponto em canto dado por proporções fixas e (ii) a iso-despesa tangenciando o “L” da indiferença.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Intuição sobre a utilidade
-tipo (Leontief / complementos perfeitos). Vou explicar devagar porque isso é o ponto chave.
- A função
diz que a produção de módulos é limitada pelo insumo em gargalo: se houver muita A mas pouca B, o excesso de A não aumenta , e vice‑versa. - Se definirmos
, isso significa que, para atingir um certo , é necessário ter pelo menos e . - Portanto, gasto extra em um insumo além de
ou é desperdiçado no sentido de não aumentar . Logo, para qualquer nível buscado é ótimo escolher exatamente e (não colocar sobra de um lado). - Essa observação resolve qualitativamente os dois problemas (maximização sob orçamento e minimização de despesa): sempre trabalhar com as proporções fixas
.
Passo 3
Resolver (a) — maximização de
com orçamento
.
- Pelo raciocínio do Passo 2, em qualquer solução ótima deve ocorrer igualdade de proporções:
onde
é o número de módulos produzidos (o próprio valor de
no ponto).
- Assim
e . Substituindo na restrição orçamentária
temos
- Isolando
:
- Logo as demandas Marshallianas são
e o número máximo de módulos viáveis (utilidade máxima) é
(Comentário prático: não compensa comprar além de
ou
porque isso não aumenta
e só consome orçamento.)
Passo 4
Derivação alternativa curta (Lagrangiano intuitivo) — para aprender um método padrão que pode aparecer na prova.
- Se tentássemos escrever o problema como maximizar
com , e , a solução interior dos multiplicadores nos levaria à igualdade e (porque qualquer sobra aumenta custo sem aumentar ). - Depois substituímos na restrição orçamentária para obter
igual à expressão do Passo 3. Isso confirma o resultado por um método de otimização padrão.
Passo 5
Resolver (b) — problema dual de minimização de despesa para alcançar
.
- Para obter
é necessário e suficiente ter e . - Minimizar
sujeito a essas desigualdades é óbvio: escolha exatamente as quantidades necessárias, sem sobra:
- A função despesa (custo mínimo para alcançar
) é
Passo 6
Resolver (c) — variação compensatória
quando
aumenta para
.
- Primeiro note o nível inicial de utilidade
no ótimo inicial (com preços originais) é o do Passo 3:
- A despesa necessária para manter
com os preços novos é, pela fórmula do Passo 5,
- A despesa original para esse
(com preços originais) é
porque
foi exatamente o nível atingido com o orçamento
.
- Portanto a variação compensatória é
- Substituindo
em termos de dá a forma útil
(Interpretação curta: para manter o mesmo número de módulos, cada módulo demanda
sensores A, logo cada aumento unitário do preço de A aumenta o custo por módulo em
; multiplicando pelo número de módulos
dá o compensador total.)
Passo 7
Resolver (d) — representação gráfica e interpretação (descrição que permite desenhar o gráfico pedido).
- Eixos: coloque
no eixo horizontal e no eixo vertical. - Indiferenças (níveis de
): são curvas em “L” (Leontief). Para um nível a curva tem um canto no ponto ; a curva consiste da união do segmento horizontal que parte de para a direita e do segmento vertical que parte do mesmo ponto para cima. - Linha orçamentária: reta com equação
, inclinação . - Solução ótima: o orçamento corta a família de “L” e o máximo
ocorre quando a reta orçamentária intersecta o canto de algum “L”. Assim:
(i) o ponto em canto dado por proporções fixas é exatamente;
(ii) geometricamente a iso‑despesa (linha orçamentária) tangencia o “L” no canto — não há tangência suave como em preferências diferenciáveis, mas a reta toca o “L” no vértice e qualquer pequeno movimento ao longo dos braços do “L” reduzou viola o orçamento. - Desenho prático: desenhar os vários “L” de níveis crescentes, traçar a reta orçamentária; o ponto de tangência é o canto que está mais distante da origem tocado pela reta (isto é, o canto com maior
tal que ).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Gráfico: eixos
(horizontal) e
(vertical); curvas de indiferença em “L” com canto em
; linha orçamentária
toca um “L” no seu vértice
. Aqui (i) o ponto em canto são as proporções fixas
e (ii) a iso-despesa tangencia o “L” precisamente nesse vértice.