Em um contrato de manutenção industrial, a coordenação precisa combinar horas de duas equipes especializadas: x_{1} (mecânica de precisão) e x_{2} (termoinspeção). A produtividade percebida do serviço depende da substituibilidade entre as equipes e pode ser modelada pela função utilidade CES:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta) x_{2}^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}}, \quad \delta \in(0,1), \rho \in(-\infty, 1) \backslash\{0\}
sujeita à restrição orçamentária p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=m, em que p_{1}, p_{2} são as tarifas horárias e m é o orçamento do contrato.
(a) Derive as demandas Marshall x_{1}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) a partir das condições de primeira ordem.
(b) Obtenha as curvas de Engel para x_{1} e x_{2} e discuta a homoteticidade.
(c) Calcule a elasticidade-renda da demanda por x_{1} e interprete o resultado.
(d) Analise o caso-limite \rho \rightarrow 0 (Cobb-Douglas) e descreva graficamente como a curvatura das curvas de indiferença muda quando \rho diminui (bens mais complementares) ou aumenta em direção a 1^{-}(bens mais substitutos).

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre o problema de escolha do número de horas x_{1} e x_{2} com utilidade CES
U(x_{1},x_{2})=\left(\delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta)x_{2}^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}},
sujeita à restrição orçamentária p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m. As perguntas são:
(a) derivar as demandas Marshallianas x_{1}(p_{1},p_{2},m) e x_{2}(p_{1},p_{2},m) a partir das condições de primeira ordem;
(b) obter as curvas de Engel para x_{1} e x_{2} e discutir homoteticidade;
(c) calcular a elasticidade-renda da demanda por x_{1} e interpretar;
(d) analisar o caso-limite \rho\to0 (Cobb–Douglas) e descrever graficamente como muda a curvatura das curvas de indiferença quando \rho diminui (bens mais complementares) ou aumenta em direção a 1^{-} (bens mais substitutos).
Informações dadas e parâmetros: \delta\in(0,1), \rho\in(-\infty,1)\setminus\{0\}, preços p_{1},p_{2}>0, orçamento m>0. Não há outras restrições.

Passo 2

Montar o problema e obter as condições de primeira ordem (explicando cada passo com calma).
Queremos maximizar U(x_{1},x_{2}) sujeito à restrição p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m. Usamos Lagrange. Defina
S:=\delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta)x_{2}^{\rho}, \qquad U=S^{1/\rho}.
A função Lagrangiana é
\mathcal{L}=S^{1/\rho}+\lambda\left(m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\right).
Agora derivamos em relação a x_{1} e x_{2}. Precisamos da derivada de S^{1/\rho} em relação a x_{1}. Usamos regra da cadeia:
\frac{\partial U}{\partial x_{1}} =\frac{1}{\rho}S^{\frac{1}{\rho}-1}\cdot\frac{\partial S}{\partial x_{1}} =\frac{1}{\rho}S^{\frac{1}{\rho}-1}\cdot \delta\rho x_{1}^{\rho-1} = S^{\frac{1}{\rho}-1}\,\delta x_{1}^{\rho-1}.
Analogamente,
\frac{\partial U}{\partial x_{2}}=S^{\frac{1}{\rho}-1}(1-\delta)x_{2}^{\rho-1}.
As condições de primeira ordem da Lagrangiana são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}: \quad S^{\frac{1}{\rho}-1}\,\delta x_{1}^{\rho-1}-\lambda p_{1}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}: \quad S^{\frac{1}{\rho}-1}\,(1-\delta)x_{2}^{\rho-1}-\lambda p_{2}=0,
e a restrição orçamentária
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.

Passo 3

Eliminar o fator comum e obter a relação entre x_{1} e x_{2} (a condição de equilíbrio marginal).
Das duas primeiras equações, dividindo membro a membro para eliminar \lambda e S^{\frac{1}{\rho}-1}, obtemos
\frac{\delta x_{1}^{\rho-1}}{p_{1}}=\frac{(1-\delta) x_{2}^{\rho-1}}{p_{2}}.
Rearranjando,
\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{\rho-1}=\frac{1-\delta}{\delta}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}.
Agora é útil introduzir a elasticidade de substituição constante \sigma, que se relaciona com \rho por
\sigma=\frac{1}{1-\rho}.
Observe que \rho-1= -\frac{1}{\sigma}, então levantar ambos os lados a potência 1/(\rho-1) equivale a elevar a -\sigma. Assim obtemos uma forma mais tratável para a razão:
\frac{x_{1}}{x_{2}} = \left(\frac{1-\delta}{\delta}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}\right)^{\frac{1}{\rho-1}} = \left(\frac{\delta}{1-\delta}\cdot\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{\sigma}.
Defina
A:=\left(\frac{\delta}{1-\delta}\cdot\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{\sigma}, \qquad\text{logo}\quad x_{1}=A\,x_{2}.

Passo 4

Usar a restrição orçamentária para obter explicitamente x_{1} e x_{2}. Explicar manipulação algébrica e introduzir o índice de preços CES P.
Pela restrição p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m e usando x_{1}=A x_{2}, temos
p_{1}A x_{2}+p_{2}x_{2}=m \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{m}{p_{1}A+p_{2}}, \qquad x_{1}=A\,x_{2}=\frac{mA}{p_{1}A+p_{2}}.
Agora reescrevemos essas expressões em uma forma simétrica e mais elegante usando o índice de preços CES. Defina
\sigma=\frac{1}{1-\rho}, \qquad P:=\left(\delta p_{1}^{\,1-\sigma}+(1-\delta)p_{2}^{\,1-\sigma}\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}.
Esse P é o índice de preços associado à utilidade CES. Uma propriedade útil é que
P^{1-\sigma}=\delta p_{1}^{\,1-\sigma}+(1-\delta)p_{2}^{\,1-\sigma}.
A partir das condições de primeiro ordem e da minimização da despesa (ou usando a relação entre A e preços), obtém‑se após algumas manipulações (ver passos anteriores) a forma fechada conhecida das demandas Marshallianas:
x_{1}(p_{1},p_{2},m) = m\cdot\frac{\delta\, p_{1}^{-\sigma}}{\delta\, p_{1}^{\,1-\sigma}+(1-\delta)\,p_{2}^{\,1-\sigma}},
x_{2}(p_{1},p_{2},m) = m\cdot\frac{(1-\delta)\, p_{2}^{-\sigma}}{\delta\, p_{1}^{\,1-\sigma}+(1-\delta)\,p_{2}^{\,1-\sigma}}.
Para checar a forma: dividir numerador e denominador por P^{1-\sigma} ou seguir a derivação via função gasto e(u,p)=uP e identidades h_{i}(u,p)=u\,P^{\sigma}\cdotcoeficiente \cdot p_{i}^{-\sigma} conduz às expressões acima. Essas fórmulas são homogêneas de grau zero em preços e lineares em m (cada x_{i} é proporcional a m).

Passo 5

Obter as curvas de Engel e discutir homoteticidade (explicando o conceito e mostrando passo a passo).
As curvas de Engel mostram x_{i} em função da renda m, mantendo preços fixos. Das fórmulas obtidas,
x_{1}(p,m)=m\cdot\underbrace{\frac{\delta\, p_{1}^{-\sigma}}{\delta\, p_{1}^{\,1-\sigma}+(1-\delta)\,p_{2}^{\,1-\sigma}}}_{:=\alpha_{1}(p_{1},p_{2})},
x_{2}(p,m)=m\cdot\underbrace{\frac{(1-\delta)\, p_{2}^{-\sigma}}{\delta\, p_{1}^{\,1-\sigma}+(1-\delta)\,p_{2}^{\,1-\sigma}}}_{:=\alpha_{2}(p_{1},p_{2})}.
Portanto as curvas de Engel são rectas que passam pela origem: x_{i}=\alpha_{i}(p)\,m. Cada \alpha_{i}(p) depende apenas dos preços e de \delta, não de m. Isso significa que as preferências são homotéticas: a razão marginal de substituição depende apenas das razões de quantidades, não do nível de utilidade; e, em consequência, uma mudança de renda escala consumos proporcionalmente. Conclusão: as curvas de Engel são linhas (proporcionais a m) e a utilidade CES é homotética.

Passo 6

Calcular explicitamente a elasticidade-renda da demanda por x_{1} e interpretar.
A elasticidade-renda é definida por
\varepsilon_{x_{1},m} = \frac{\partial x_{1}}{\partial m}\cdot\frac{m}{x_{1}}.
Como x_{1}=\alpha_{1}(p)\,m com \alpha_{1}(p) independente de m, tem-se \partial x_{1}/\partial m=\alpha_{1}(p). Assim
\varepsilon_{x_{1},m}=\alpha_{1}(p)\cdot\frac{m}{\alpha_{1}(p)m}=1.
Interpretação econômica: a demanda por x_{1} tem elasticidade-renda igual a 1, ou seja, é renda-proporcional; se o orçamento m dobra, x_{1} dobra. Isso é previsto por preferências homotéticas como a CES: bens são normais com elasticidade-renda unitária.

Passo 7

Analisar o caso-limite \rho\to 0 (Cobb–Douglas) e discutir como a curvatura das curvas de indiferença muda com \rho.
Primeiro o limite. Queremos mostrar que, quando \rho\to0,
U(x_{1},x_{2})=\left(\delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta)x_{2}^{\rho}\right)^{1/\rho} \longrightarrow x_{1}^{\delta}x_{2}^{1-\delta},
ou seja, a forma Cobb–Douglas. Uma forma compacta de ver isso é tomar logaritmo e usar limite:
\ln U=\frac{1}{\rho}\ln\!\big(\delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta)x_{2}^{\rho}\big).
Quando \rho\to0, usar expansão de primeira ordem ou o limite conhecido \lim_{t\to0}\frac{\ln(a e^{t\ln x}+b e^{t\ln y})}{t}=\,a\ln x+b\ln y com a=\delta,\\ b=1-\delta, obtém-se \ln U\to \delta\ln x_{1}+(1-\delta)\ln x_{2}. Exponenciando:
U\to x_{1}^{\delta}x_{2}^{1-\delta},
que é Cobb–Douglas.
Agora sobre a curvatura das curvas de indiferença quando variamos \rho:
  • Lembre a relação \sigma=1/(1-\rho) (elasticidade de substituição). Quando \rho aumenta para 1^{-}, \sigma\to+\infty: bens tornam-se quase perfeitos substitutos; as curvas de indiferença tornam-se retas (pendentes constantes quando preços iguais) — muito planas, baixo grau de curvatura (quase linha reta). No limite \rho\to1^{-} o agregador converge para soma linear e indiferenças são linhas (perfeitos substitutos).
  • Quando \rho diminui (tornando-se negativo e tendendo a -\infty), \sigma\to0^{+}: bens tornam-se cada vez mais complementares. As curvas de indiferença ficam cada vez mais “em L” (achatadas nos cantos), aproximando-se do caso de Leontief (perfect complements) quando a substituição é praticamente inexistente. No limite extremo de complementaridade perfeita, a curva de indiferença é um ângulo reto (forma de L).
  • No caso intermediário \rho=0 (Cobb–Douglas), as curvas de indiferença têm curvatura padrão hiperbólica (suavemente convexas) com forma que dá participação constante em gasto (as razões marginais dependem de razões de quantidades de forma log-linear).
Grafique mentalmente: à medida que \rho decresce de 1 para valores menores, as curvas passam de retas quase lineares (substitutos) para curvas bem convexas (Cobb–Douglas no meio) e finalmente para cantos quase retos (complementos fortes). Em termos de \sigma: \sigma grande → substitutos; \sigma pequeno → complementares.

Passo 8

Resumo prático para a prova (dicas rápidas e como memorizar):
  • Derive sempre FOCs via Lagrange e divida as FOCs para eliminar o multiplicador: isso dá a relação preço‑razão ↔ razão de quantidades.
  • Lembre a relação \sigma=1/(1-\rho) para traduzir entre parâmetros CES e elasticidade de substituição.
  • As demandas CES têm forma linear em m: memorize x_{i}=m\cdot\frac{\text{peso}_i\,p_{i}^{-\sigma}}{\sum_{j}\text{peso}_j\,p_{j}^{\,1-\sigma}} (no caso de dois bens, o denominador escrito explicitamente).
  • Para \rho\to0 recupere Cobb–Douglas x_{1}^{\delta}x_{2}^{1-\delta}; para extremos \rho\to1^{-} (substitutos) e \rho\to -\infty (complementos) pense nas curvas de indiferença mudando de retas para cantos.

Resposta

(a) \displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},m)=m\cdot\frac{\delta\, p_{1}^{-\sigma}}{\delta\, p_{1}^{\,1-\sigma}+(1-\delta)\,p_{2}^{\,1-\sigma}},\qquad x_{2}(p_{1},p_{2},m)=m\cdot\frac{(1-\delta)\, p_{2}^{-\sigma}}{\delta\, p_{1}^{\,1-\sigma}+(1-\delta)\,p_{2}^{\,1-\sigma}}, onde \displaystyle \sigma=\frac{1}{1-\rho}.
(b) As curvas de Engel são linhas passantes pela origem:
\displaystyle x_{1}=\alpha_{1}(p)\,m,\qquad x_{2}=\alpha_{2}(p)\,m,
com \alpha_{1}(p),\alpha_{2}(p) dadas pelos fatores nas fórmulas de (a). Logo as preferências CES são homotéticas.
(c) A elasticidade‑renda da demanda por x_{1} é \displaystyle \varepsilon_{x_{1},m}=1. Interpretação: x_{1} cresce proporcionalmente à renda (bem normal com elasticidade‑renda unitária), consequência da homoteticidade.
(d) Quando \rho\to0 tem‑se o caso Cobb–Douglas:
\displaystyle U\to x_{1}^{\delta}x_{2}^{1-\delta}.
Graficamente: ao diminuir \rho (ou, equivalentemente, reduzir \sigma) os bens ficam mais complementares e as curvas de indiferença tornam‑se mais em “L” (mais curvadas para o canto); ao aumentar \rho em direção a 1^{-} (ou seja, \sigma\to\infty) os bens tornam‑se mais substitutos e as curvas de indiferença aproximam‑se de retas.

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