Uma planta industrial precisa definir a quantidade de inspeções automatizadas \left(x_{1}\right) e a quantidade de insumos diversos ( x_{2} ) a serem adquiridos. A contribuição desses fatores para a eficiência produtiva pode ser representada pela função utilidade quase-linear:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=\ln \left(x_{1}\right)+x_{2},
sujeita à restrição orçamentária p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=m, em que p_{1} e p_{2} são os preços dos insumos e m é o orçamento disponível.
(a) Obtenha as demandas Marshall para x_{1} e x_{2}.
(b) Verifique se a demanda por x_{1} depende do nível de renda m.
(c) Mostre matematicamente que o efeito-renda sobre x_{1} é nulo e discuta a interpretação econômica.
(d) Represente graficamente a escolha ótima, indicando a curva de indiferença e a reta orçamentária.

Passo 1

Analisando o enunciado: a planta escolhe quantidades \left(x_{1},x_{2}\right) para maximizar a utilidade sob restrição orçamentária. Dados e pedidos:
  • Função utilidade: U\left(x_{1},x_{2}\right)=\ln\left(x_{1}\right)+x_{2}.
  • Restrição orçamentária: p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m, onde p_{1},p_{2}>0 e m é o orçamento.
    O enunciado pede:
    (a) encontrar as demandas Marshallianas para x_{1} e x_{2};
    (b) verificar se a demanda por x_{1} depende de m;
    (c) mostrar matematicamente que o efeito-renda sobre x_{1} é nulo e explicar economicamente;
    (d) representar graficamente a escolha ótima (indicar curva de indiferença e reta orçamentária).

Passo 2

Escolha do método e transformação do problema: é mais simples usar a restrição para eliminar x_{2} e ficar com uma função de uma variável. A restrição dá
x_{2}=\frac{m-p_{1}x_{1}}{p_{2}}.
Substituindo na utilidade obtemos a função objetivo em x_{1} só:
V\left(x_{1}\right)=\ln\left(x_{1}\right)+\frac{m-p_{1}x_{1}}{p_{2}}.
Aqui o domínio é x_{1}>0 (porque \ln só está definido para argumentos positivos). Vou maximizar V(x_{1}) em x_{1}>0.

Passo 3

Condições de otimalidade (derivadas): calcule a derivada primeira de V em relação a x_{1}:
V'(x_{1})=\frac{d}{dx_{1}}\left[\ln\left(x_{1}\right)\right]+\frac{d}{dx_{1}}\left[-\frac{p_{1}}{p_{2}}x_{1}\right] =\frac{1}{x_{1}}-\frac{p_{1}}{p_{2}}.
A condição de primeira ordem para máximo interior é V'(x_{1})=0, daí
\frac{1}{x_{1}}-\frac{p_{1}}{p_{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}^{*}=\frac{p_{2}}{p_{1}}.
Verificação da segunda ordem: a segunda derivada é
V''(x_{1})=-\frac{1}{x_{1}^{2}}<0\quad\text{para }x_{1}>0,
logo a solução encontrada é um máximo local (e, por concavidade estrita, é o máximo global no domínio).

Passo 4

Encontrar x_{2}^{*} usando a restrição orçamentária: substituindo x_{1}^{*} na reta orçamentária,
x_{2}^{*}=\frac{m-p_{1}x_{1}^{*}}{p_{2}} =\frac{m-p_{1}\,\dfrac{p_{2}}{p_{1}}}{p_{2}} =\frac{m-p_{2}}{p_{2}} =\frac{m}{p_{2}}-1.
Observação sobre viabilidade (caso de canto): fizemos a otimização assumindo solução interior. Se houver a exigência natural x_{2}\ge 0, então é preciso verificar x_{2}^{*}\ge 0, i.e. m\ge p_{2}. Se m<p_{2} a solução interior dá x_{2}^{*}<0 (inviável), e o ótimo será um ponto de canto com x_{2}=0 e toda a renda gasto em x_{1}, isto é
\text{se }m<p_{2}:\qquad x_{2}^{\text{canto}}=0,\quad x_{1}^{\text{canto}}=\frac{m}{p_{1}}.
Portanto existe uma solução interior ( x_{1}^{*}=\dfrac{p_{2}}{p_{1}},\,x_{2}^{*}=\dfrac{m}{p_{2}}-1) quando m\ge p_{2}; caso contrário o ótimo é o canto acima.

Passo 5

Resposta à parte (b) — dependência de x_{1} em relação a m: a expressão obtida para a demanda interior é
x_{1}^{*}=\frac{p_{2}}{p_{1}},
que não contém m. Portanto, para o caso interior, a demanda Marshalliana por x_{1} não depende do nível de renda m. (No caso de canto m<p_{2}, a demanda é x_{1}=\dfrac{m}{p_{1}}, que aí depende de m porque a tangência não é factível.)

Passo 6

Parte (c) — mostrar matematicamente que o efeito-renda sobre x_{1} é nulo e interpretação econômica. Matematicamente, tomando derivada da demanda interior em relação a m:
\frac{\partial x_{1}^{*}}{\partial m}= \frac{\partial}{\partial m}\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)=0.
Assim o efeito-renda é nulo. Interpretação econômica (intuitiva): a função utilidade é quase-linear em x_{2} (o termo +x_{2} é linear), o que significa que utilidade marginal da renda é constante e renda adicional é alocada inteiramente em x_{2} (o bem linear), sem alterar a escolha do bem x_{1}. Em outras palavras, x_{1} é comprado até o ponto em que seu valor marginal relativo (razão de preços) iguala a utilidade marginal, e esse ponto não se desloca com renda — só o consumo de x_{2} aumenta quando a renda aumenta. Outra forma de ver: a utilidade indireta vale
V^{*}(p_{1},p_{2},m)=\ln\!\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)+\frac{m}{p_{2}}-1,
e \dfrac{\partial V^{*}}{\partial m}=\dfrac{1}{p_{2}} é constante, mostrando que a utilidade marginal da renda não depende de m e que renda extra compra somente x_{2}.

Passo 7

Parte (d) — representação gráfica e interpretação do ponto ótimo (como desenhar):
  • Eixos: eixo horizontal x_{1}, eixo vertical x_{2}.
  • Reta orçamentária: \;p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m\;. Interseções: com o eixo x_{1} em \dfrac{m}{p_{1}} e com o eixo x_{2} em \dfrac{m}{p_{2}}. A reta tem inclinação -\dfrac{p_{1}}{p_{2}}.
  • Curvas de indiferença (família): para um nível de utilidade fixo u,
x_{2}=u-\ln\left(x_{1}\right).
Cada curva é decrescente em x_{1} e tem declive (derivada) \dfrac{dx_{2}}{dx_{1}}=-\dfrac{1}{x_{1}}.
  • Ponto de tangência interior: iguala-se a inclinação da curva de indiferença com a da reta orçamentária:
-\frac{1}{x_{1}}=-\frac{p_{1}}{p_{2}} \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{p_{2}}{p_{1}},
o que coincide com a solução obtida analiticamente. Nesse ponto desenhado, a curva de indiferença toca a reta orçamentária e acima dela não é alcançável. O valor de x_{2} no ponto de tangência é x_{2}=\dfrac{m}{p_{2}}-1.
  • Caso de canto (se m<p_{2}): a tangência estaria fora do conjunto factível; então a escolha ótima é o ponto onde x_{2}=0 e x_{1}=\dfrac{m}{p_{1}} (interseção da reta orçamentária com o eixo x_{1}). No desenho, isso aparece quando a reta orçamentária é tão curta que a tangência com qualquer curva de indiferença mais alta exigiria x_{2}<0.

Passo 8

Resumo final e incentivo rápido: a conta dá uma solução limpinha por causa da forma quase-linear — x_{1} depende só de preços, x_{2} absorve a renda adicional. Isso facilita bastante na prova: derive a FOC após eliminar uma variável pela restrição e cheque o segundo-derivado; sempre verifique a viabilidade (não-negatividade) para não esquecer o caso de canto. Força aí — você já tem a receita para repetir esse tipo de problema na prova!

Resposta

x_{1}^{*}=\dfrac{p_{2}}{p_{1}} (demanda Marshalliana por x_{1}, interior).\n x_{2}^{*}=\dfrac{m}{p_{2}}-1 (demanda Marshalliana por x_{2}, interior, válida se m\ge p_{2}; se m<p_{2} então x_{2}^{*}=0 e x_{1}^{*}=\dfrac{m}{p_{1}}).\nA demanda por x_{1} não depende de m (para solução interior): \dfrac{\partial x_{1}^{*}}{\partial m}=0.\nO efeito-renda sobre x_{1} é nulo (mostrado por \dfrac{\partial x_{1}^{*}}{\partial m}=0); economicamente, devido à forma quase-linear +\;x_{2}, renda adicional é gasta em x_{2} sem alterar x_{1}.

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