Uma planta industrial precisa definir a quantidade de inspeções automatizadas
e a quantidade de insumos diversos (
) a serem adquiridos. A contribuição desses fatores para a eficiência produtiva pode ser representada pela função utilidade quase-linear:
sujeita à restrição orçamentária
, em que
e
são os preços dos insumos e
é o orçamento disponível.
(a) Obtenha as demandas Marshall para
e
.
(b) Verifique se a demanda por
depende do nível de renda
.
(c) Mostre matematicamente que o efeito-renda sobre
é nulo e discuta a interpretação econômica.
(d) Represente graficamente a escolha ótima, indicando a curva de indiferença e a reta orçamentária.
(a) Obtenha as demandas Marshall para
(b) Verifique se a demanda por
(c) Mostre matematicamente que o efeito-renda sobre
(d) Represente graficamente a escolha ótima, indicando a curva de indiferença e a reta orçamentária.
Passo 1
Analisando o enunciado: a planta escolhe quantidades
para maximizar a utilidade sob restrição orçamentária. Dados e pedidos:
- Função utilidade:
. - Restrição orçamentária:
, onde e é o orçamento.
O enunciado pede:
(a) encontrar as demandas Marshallianas parae ;
(b) verificar se a demanda pordepende de ;
(c) mostrar matematicamente que o efeito-renda sobreé nulo e explicar economicamente;
(d) representar graficamente a escolha ótima (indicar curva de indiferença e reta orçamentária).
Passo 2
Escolha do método e transformação do problema: é mais simples usar a restrição para eliminar
e ficar com uma função de uma variável. A restrição dá
Substituindo na utilidade obtemos a função objetivo em
só:
Aqui o domínio é
(porque
só está definido para argumentos positivos). Vou maximizar
em
.
Passo 3
Condições de otimalidade (derivadas): calcule a derivada primeira de
em relação a
:
A condição de primeira ordem para máximo interior é
, daí
Verificação da segunda ordem: a segunda derivada é
logo a solução encontrada é um máximo local (e, por concavidade estrita, é o máximo global no domínio).
Passo 4
Encontrar
usando a restrição orçamentária: substituindo
na reta orçamentária,
Observação sobre viabilidade (caso de canto): fizemos a otimização assumindo solução interior. Se houver a exigência natural
, então é preciso verificar
, i.e.
. Se
a solução interior dá
(inviável), e o ótimo será um ponto de canto com
e toda a renda gasto em
, isto é
Portanto existe uma solução interior (
) quando
; caso contrário o ótimo é o canto acima.
Passo 5
Resposta à parte (b) — dependência de
em relação a
: a expressão obtida para a demanda interior é
que não contém
. Portanto, para o caso interior, a demanda Marshalliana por
não depende do nível de renda
. (No caso de canto
, a demanda é
, que aí depende de
porque a tangência não é factível.)
Passo 6
Parte (c) — mostrar matematicamente que o efeito-renda sobre
é nulo e interpretação econômica. Matematicamente, tomando derivada da demanda interior em relação a
:
Assim o efeito-renda é nulo. Interpretação econômica (intuitiva): a função utilidade é quase-linear em
(o termo
é linear), o que significa que utilidade marginal da renda é constante e renda adicional é alocada inteiramente em
(o bem linear), sem alterar a escolha do bem
. Em outras palavras,
é comprado até o ponto em que seu valor marginal relativo (razão de preços) iguala a utilidade marginal, e esse ponto não se desloca com renda — só o consumo de
aumenta quando a renda aumenta. Outra forma de ver: a utilidade indireta vale
e
é constante, mostrando que a utilidade marginal da renda não depende de
e que renda extra compra somente
.
Passo 7
Parte (d) — representação gráfica e interpretação do ponto ótimo (como desenhar):
- Eixos: eixo horizontal
, eixo vertical . - Reta orçamentária:
. Interseções: com o eixo em e com o eixo em . A reta tem inclinação . - Curvas de indiferença (família): para um nível de utilidade fixo
,
Cada curva é decrescente em
e tem declive (derivada)
.
- Ponto de tangência interior: iguala-se a inclinação da curva de indiferença com a da reta orçamentária:
o que coincide com a solução obtida analiticamente. Nesse ponto desenhado, a curva de indiferença toca a reta orçamentária e acima dela não é alcançável. O valor de
no ponto de tangência é
.
- Caso de canto (se
): a tangência estaria fora do conjunto factível; então a escolha ótima é o ponto onde e (interseção da reta orçamentária com o eixo ). No desenho, isso aparece quando a reta orçamentária é tão curta que a tangência com qualquer curva de indiferença mais alta exigiria .
Passo 8
Resumo final e incentivo rápido: a conta dá uma solução limpinha por causa da forma quase-linear —
depende só de preços,
absorve a renda adicional. Isso facilita bastante na prova: derive a FOC após eliminar uma variável pela restrição e cheque o segundo-derivado; sempre verifique a viabilidade (não-negatividade) para não esquecer o caso de canto. Força aí — você já tem a receita para repetir esse tipo de problema na prova!