Uma linha de produção afirmar produzir 1% de itens defeituosos. Ao inspecionar uma amostra de 40 itens da produção, selecionados aleatoriamente. Espera-se encontrar quantos itens defeituosos? [ resp: 0.4 itens, ou seja, menos de 1 item ]. Qual a probabilidade de somente um item dessa amostra apresentar defeito? R.: 0,2703

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma linha de produção que tem 1% de itens defeituosos. A gente pega uma amostra aleatória de 40 itens dessa produção. Primeiro, queremos saber quantos itens defeituosos a gente espera encontrar nessa amostra. Depois, qual a probabilidade de ter exatamente um item defeituoso nessa amostra de 40. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número esperado de itens defeituosos na amostra. Sabemos que 1% dos itens são defeituosos, então a probabilidade de um item ser defeituoso é $ p = 0,01 $. Como estamos analisando 40 itens, o número esperado de defeituosos é dado por:
p = 0,01 ú
Isso quer dizer que, em média, esperamos encontrar menos de 1 item defeituoso nessa amostra.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente um item defeituoso na amostra de 40. Para isso, usamos a distribuição binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, 40 itens), cada tentativa tem duas possíveis saídas (defeituoso ou não), e a probabilidade de sucesso (um item defeituoso) é constante.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n = 40 $ (número de itens)
  • $ k = 1 $ (número de itens defeituosos desejado)
  • $ p = 0,01 $ (probabilidade de um item ser defeituoso)
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula as combinações.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando o coeficiente binomial $ \binom{40}{1} $:
binom401
  1. Calculando $ p^k = 0,01^1 = 0,01 $
  2. Calculando $ (1 - p)^{n - k} = 0,99^{39} $.
Agora, juntando tudo:
binom401 = 40

Passo 5

Vamos calcular $ 0,99^{39} $. Isso é aproximadamente 0,6832 (usando uma calculadora).
Então:
0,99^39

Resposta

A probabilidade de exatamente um item defeituoso na amostra de 40 é de aproximadamente 0,2703.

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