Em uma linha de produção de certa peça mecânica, colheu-se uma amostra de 100 itens, constatando-se que 4 peças eram defeituosas. Construir o IC para a proporção p das peças defeituosas ao nível de 10 %. (Resposta: IC (p, 90 % ) =(0,78 %; 7,214 %)).

Passo 1

Beleza, vamos destrinchar o que o enunciado tá pedindo.
Enunciado resumido:
– Pegaram uma amostra de n = 100 peças e encontraram x = 4 defeituosas.
– Queremos montar o intervalo de confiança (IC) para a proporção p de peças defeituosas, com nível de confiança de 90%.
Conteúdo da matéria: Intervalo de confiança para proporção.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a proporção amostral .
  2. Saber qual o valor crítico pro nível de 90%.
  3. Aplicar a fórmula do IC para proporções.

Passo 2

Primeiro a teoria:
A proporção amostral hat p = xn é a nossa “melhor chute” para a proporção verdadeira hat p = 4100 = 0,04 (4%) . Ela se calcula como
No nosso caso:

Passo 3

Agora a parte do valor crítico.
Como o nível de confiança é 90%, o risco de erro total é zalpha/2 = z0,05 approx 1,645 .
Esse erro fica dividido em duas caudas da distribuição Normal, cada uma com .
O valor de que deixa 5% na cauda superior é aproximadamente

Passo 4

A fórmula geral do intervalo de confiança para proporção é
hat p pm zalpha/2,raizhat p,(1 - hat p)n
Aqui, o termo
raizhat p,(1 - hat p)n
é o erro padrão da proporção.

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão e, em seguida, a margem de erro:
  1. Erro padrão:
raiz0,04,(1 - 0,04)100 = raiz0,04 times 0,96100 = raiz0,000384 approx 0,0196
  1. Margem de erro E = zalpha/2times 0,0196 approx 1,645 times 0,0196 approx 0,03214(ou 3,214%) :

Passo 6

Por fim, montamos o intervalo:
Limite inferior:
0,04 - 0,03214 = 0,00786 approx 0,78%
Limite superior:
0,04 + 0,03214 = 0,07214 approx 7,214%

Resposta

IC .

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