De uma população normal com parâmetros desconhecidos, tiramos uma amostra de tamanho 100, obtendo-se média amostral de 112 e S=11. Determine o IC para mu ao nível de 10%. (Resposta: IC (mu, 90 %)=(110,20 ; 113,80) ).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos e o que cai de teoria aqui.
Enunciado em poucas palavras: tiramos uma amostra de tamanho n=100 de uma população normal (σ desconhecido), a média amostral deu bar x=112 e o desvio amostral S=11. Queremos um intervalo de confiança (IC) para a média verdadeira μ com nível de confiança de 90% (ou seja, α=10%).
Conteúdo envolvido:
  • Intervalo de confiança para média quando σ é desconhecido, mas com amostras grandes (n>30) dá pra usar a distribuição normal (z) graças ao Teorema Central do Limite.
  • Precisamos do valor crítico z1-alpha2 da normal padrão, da fórmula do IC e dos cálculos de margem de erro.

Passo 2

Definindo α e encontrando o valor crítico z
  1. Nível de confiança = 90%, logo α = 1 – 0.90 = 0.10.
  2. Precisamos de z1-alpha2=z0.95, que é o ponto onde a área à esquerda é 0,95.
  3. Na tabela da normal padrão, z0.95approx 1,645.
Por que usamos z e não t? Apesar de σ desconhecido, pela regra prática, se n>30 a distribuição amostral da média fica bem próxima de normal (CLT) e usamos z.

Passo 3

Montando a fórmula do IC
A fórmula geral para o IC da média é:
bar x pm z1-alpha2;Sraiz n
Aqui:
  • bar x=112
  • z1-alpha/2=1,645
  • S=11
  • n=100

Passo 4

Fazendo as contas
  1. Calcular o erro padrão da média:
Sraiz n = 11raiz100 = 1110 = 1,1
  1. Calcular a margem de erro:
E = z0.95times 1,1 = 1,645 times 1,1 approx 1,8095
  1. Determinar os limites do intervalo:
  • Limite inferior: 112 - 1,8095 approx 110,1905
  • Limite superior: 112 + 1,8095 approx 113,8095
Arredondando para duas casas decimais, fica (110,20,;113,80).

Resposta

O intervalo de confiança para mu com 90% de confiança é:
boxed(110,20,;113,80)

Exercícios relacionados