De uma população normal com parâmetros desconhecidos, tiramos uma amostra de tamanho 100, obtendo-se média amostral de 112 e
. Determine o IC para
ao nível de 10%. (Resposta: IC
).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos e o que cai de teoria aqui.
Enunciado em poucas palavras: tiramos uma amostra de tamanho n=100 de uma população normal (σ desconhecido), a média amostral deu e o desvio amostral
. Queremos um intervalo de confiança (IC) para a média verdadeira μ com nível de confiança de 90% (ou seja, α=10%).
Enunciado em poucas palavras: tiramos uma amostra de tamanho n=100 de uma população normal (σ desconhecido), a média amostral deu
Conteúdo envolvido:
- Intervalo de confiança para média quando σ é desconhecido, mas com amostras grandes (n>30) dá pra usar a distribuição normal (z) graças ao Teorema Central do Limite.
- Precisamos do valor crítico
da normal padrão, da fórmula do IC e dos cálculos de margem de erro.
Passo 2
Definindo α e encontrando o valor crítico z
- Nível de confiança = 90%, logo α = 1 – 0.90 = 0.10.
- Precisamos de
, que é o ponto onde a área à esquerda é 0,95. - Na tabela da normal padrão,
.
Por que usamos z e não t? Apesar de σ desconhecido, pela regra prática, se n>30 a distribuição amostral da média fica bem próxima de normal (CLT) e usamos z.
Passo 3
Montando a fórmula do IC
A fórmula geral para o IC da média é:
A fórmula geral para o IC da média é:
Aqui:
Passo 4
Fazendo as contas
- Calcular o erro padrão da média:
- Calcular a margem de erro:
- Determinar os limites do intervalo:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Arredondando para duas casas decimais, fica
.
Resposta
O intervalo de confiança para
com 90% de confiança é: