Q4) Um posto de gasolina usualmente atende 250 clientes por dia, em média. Durante uma campanha em que os clientes recebiam um brinde, o número médio de clientes por dia foi 270 . Em ambos os casos o desvio padrāo amostral foi de 60. Assuma que o número de clientes por dia se comporta segundo uma distribuiçāo Normal, em ambos os cenários.
(a) Há razões para suspeitar que a campanha modificou, para mais ou para menos, o número médio de clientes do posto? Responda essa pergunta formulando o problema como um teste de hipóteses ao nível de significância de
.
(b) A partir de que nível de significância esta conclusāo mudaria?
(c) Obtenha o intervalo de
de confiança para o número médio diário de clientes. Caso essa campanha seja realizada em 100 postos de gasolinas, assumidos serem independentes, e para cada posto um intervalo com a mesma confiança seja construído, aproximadamente quantos intervalos irāo conter o valor verdadeiro para o número médio de clientes diário? Justifique a sua resposta.
(a) Há razões para suspeitar que a campanha modificou, para mais ou para menos, o número médio de clientes do posto? Responda essa pergunta formulando o problema como um teste de hipóteses ao nível de significância de
(b) A partir de que nível de significância esta conclusāo mudaria?
(c) Obtenha o intervalo de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (listei tudo que aparece no problema):\n
- Valor “usual” do número médio de clientes por dia:
.\n - Durante a campanha, a média observada foi
.\n - Em ambos os cenários o desvio padrão amostral informado é
.\n - Assume-se que o número de clientes por dia segue uma distribuição Normal.\n
- Perguntas pedidas:\n
(a) Testar, ao nível de significância de, se há razão para suspeitar que a campanha modificou (para mais ou para menos) a média diária de clientes.\n
(b) A partir de que nível de significância essa conclusão mudaria? (interpretei isto como: qual é o nível de significância mínimo necessário para rejeitar a hipótese nula — ou seja, o p‑valor).\n
(c) Obter o intervalo de confiança depara a média diária e, se a mesma campanha for feita em postos independentes e cada posto construir um intervalo com a mesma confiança, quantos desses intervalos, aproximadamente, conterão o verdadeiro valor da média?\n
\nObservação importante (dados ausentes): o enunciado não informa o tamanho da amostra(número de dias observados durante a campanha). Esse é necessário para calcular o erro padrão, o valor do teste e o intervalo de confiança numérico. Portanto, nas contas a seguir vou manter simbólico e também apresentar aproximações úteis (caso se queira usar a aproximação normal para grande). Não pedirei nenhum dado adicional; vou mostrar como proceder em termos de e dar exemplos numéricos ilustrativos.
Passo 2
Escolha do método e definição das hipóteses (motivo e fórmula do teste).\n
- O que queremos é comparar a média observada na campanha
com o valor histórico . Isso é naturalmente formulado como um teste de hipótese sobre a média da população com base numa amostra: a hipótese nula declara que a verdadeira média durante a campanha é igual ao valor histórico, e a alternativa declara que é diferente (a pergunta diz “para mais ou para menos”, logo o teste é bilateral).\n - Formalmente as hipóteses são:\n
- Como a variância populacional não é conhecida explicitamente, usamos o desvio amostral
como estimativa da variabilidade e o teste apropriado é o teste t de Student (teste t unilateral/bilateral para uma média). O estatístico de teste tem a forma\n
onde:\n
-
é a média amostral (aqui );\n -
é o valor sob (aqui );\n -
é o desvio padrão amostral (aqui );\n -
é o tamanho da amostra (número de dias observados durante a campanha);\n - Sob
e se os dados vêm de uma Normal, esse tem distribuição (t de Student com graus de liberdade).\n
Vou agora aplicar essa fórmula com os números conhecidos, mantendosimbólico.
Passo 3
Cálculo do estatístico de teste em termos de
.\n
- Substituindo
, , na definição do temos\n
- Portanto o valor observado do estatístico
é\n
Isto deixa explícito como o resultado depende de
: quanto maior
, maior o
e maior a chance de rejeitar
.
Passo 4
Regra de decisão para o teste bilateral ao nível
.\n
- Para um teste bilateral ao nível
rejeitamos se\n
onde
é o quantil superior
da distribuição
com
graus de liberdade (valor crítico para o teste bilateral).\n
- Em termos práticos, para
grande o -crítico aproxima-se do quantil normal . Vou apresentar primeiro a aproximação pelo Normal (útil para obter um limite simples) e depois comentar a correção exata com -críticos.
Passo 5
Usando a aproximação normal (fácil de calcular) para obter um limite aproximado em
.\n
- Aproximando
, a condição de rejeição fica\n
- Isolando
:\n
- Ou seja, pela aproximação normal, se
dias observados durante a campanha então teremos grande o suficiente para rejeitar ao nível de . Se for menor que isso, pela aproximação normal não rejeitamos.\n - Observação: essa é uma aproximação; como usamos o
de Student, o valor crítico exato para pequenas amostras é um pouco maior que , então a exigência real em sobe um pouco (vamos comentar a correção exata a seguir).
Passo 6
Correção exata com a distribuição
(valor crítico exato) e exemplos numéricos.\n
- A comparação exata exige o valor
. Vou comparar alguns típicos para dar uma ideia:\n - Se
então , . O crítico . Como , não rejeitamos.\n - Se
então , . O crítico . Como , ainda não rejeitamos (por pouco).\n - Se
então , . O crítico . Agora , então rejeitamos.\n
- Se
- Conclusão prática: o limite exato fica um pouco acima de
; numericamente, por exemplo, com já rejeitamos ao nível , enquanto com ainda não rejeitamos. Portanto, para tomar a decisão concreta é preciso saber ; usando a aproximação normal podemos dizer que por volta de é o ponto em que a conclusão muda, e usando os valores t exatos o ponto fica em torno de .
Passo 7
Cálculo do p‑valor (resposta do item (b)) — expressão geral e aproximação numérica.\n
- O p‑valor para o teste bilateral é (em termos da distribuição
)\n
onde
é a função de distribuição acumulada da
com
graus de liberdade e
.\n
- Em aproximação normal (para
grande) podemos escrever\n
onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.\n
- Exemplos para intuir o valor:\n
- Se
então e a aproximação normal dá .\n - Se
então e (não significativo a ).\n
- Se
- Portanto a resposta ao item (b) é: o nível de significância a partir do qual a conclusão mudaria (ou seja, o menor
para o qual rejeitamos) é exatamente o p‑valor dado acima; numericamente ele depende de . Por exemplo, para o p‑valor é aproximadamente .
Passo 8
Intervalo de confiança de
para a média (item (c)) — fórmula geral e forma aproximada.\n
- O intervalo de confiança de
para a média, quando a variância é desconhecida, é dado por\n
- Para
(ou seja, ) isso fica\n
- Substituindo
e obtemos a expressão concreta (ainda em termos de ):\n
- Aproximação usando
(válida para grande):\n
- Novamente, sem o valor numérico de
não há como dar os limites numéricos finais; mas a fórmula acima é o que você deve aplicar na prova: calcule , multiplique pelo quantil e some/subtraia de .\n - Observação conceitual sobre interpretação: um intervalo de
significa que, sob o modelo e procedimento, em repetições independentes do experimento o procedimento produziria um intervalo que contém a verdadeira média em das repetições.
Passo 9
Resposta à última parte do item (c) (100 postos independentes, quantos intervalos conterão o verdadeiro valor?).\n
- Se cada posto constrói de forma independente um intervalo de confiança com nível
, então para cada posto a probabilidade do intervalo conter o verdadeiro parâmetro é .\n - Para
postos independentes, o número esperado de intervalos que conterão o verdadeiro valor é .\n - Portanto, aproximadamente
intervalos (dos ) conterão o verdadeiro valor da média. Essa é uma resposta pela expectativa; se quiser, você também pode modelar isso por uma binomial para discutir variabilidade ao redor de , mas a resposta pedida é a aproximação por .
Resposta
(a) Depende do número de dias
observados durante a campanha. O estatístico é
. Rejeita‑se
ao nível
se
. Pela aproximação normal isso exige
; usando os quantis
exatos o limite fica por volta de
(por exemplo, para
rejeita‑se, para
não rejeita‑se).\n
(b) O nível de significância a partir do qual a conclusão mudaria é o p‑valor do teste, dado por\n
\nonde
é a FDC da
com
graus de liberdade. Em aproximação normal
. (Ex.: para
,
.)\n
(c) O intervalo de confiança de
é\n
\nou, por aproximação (para
grande),
. \nSe a campanha for em
postos independentes e cada posto construir um intervalo de
, aproximadamente
desses intervalos conterão o verdadeiro valor da média.