Q4) Um posto de gasolina usualmente atende 250 clientes por dia, em média. Durante uma campanha em que os clientes recebiam um brinde, o número médio de clientes por dia foi 270 . Em ambos os casos o desvio padrāo amostral foi de 60. Assuma que o número de clientes por dia se comporta segundo uma distribuiçāo Normal, em ambos os cenários.
(a) Há razões para suspeitar que a campanha modificou, para mais ou para menos, o número médio de clientes do posto? Responda essa pergunta formulando o problema como um teste de hipóteses ao nível de significância de 5 \%.
(b) A partir de que nível de significância esta conclusāo mudaria?
(c) Obtenha o intervalo de 95 \% de confiança para o número médio diário de clientes. Caso essa campanha seja realizada em 100 postos de gasolinas, assumidos serem independentes, e para cada posto um intervalo com a mesma confiança seja construído, aproximadamente quantos intervalos irāo conter o valor verdadeiro para o número médio de clientes diário? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (listei tudo que aparece no problema):\n
  • Valor “usual” do número médio de clientes por dia: \mu_0 = 250.\n
  • Durante a campanha, a média observada foi \bar{x} = 270.\n
  • Em ambos os cenários o desvio padrão amostral informado é s = 60.\n
  • Assume-se que o número de clientes por dia segue uma distribuição Normal.\n
  • Perguntas pedidas:\n
    (a) Testar, ao nível de significância de 5\%, se há razão para suspeitar que a campanha modificou (para mais ou para menos) a média diária de clientes.\n
    (b) A partir de que nível de significância essa conclusão mudaria? (interpretei isto como: qual é o nível de significância mínimo necessário para rejeitar a hipótese nula — ou seja, o p‑valor).\n
    (c) Obter o intervalo de confiança de 95\% para a média diária e, se a mesma campanha for feita em 100 postos independentes e cada posto construir um intervalo com a mesma confiança, quantos desses intervalos, aproximadamente, conterão o verdadeiro valor da média?\n
    \nObservação importante (dados ausentes): o enunciado não informa o tamanho da amostra n (número de dias observados durante a campanha). Esse n é necessário para calcular o erro padrão, o valor do teste e o intervalo de confiança numérico. Portanto, nas contas a seguir vou manter n simbólico e também apresentar aproximações úteis (caso se queira usar a aproximação normal para n grande). Não pedirei nenhum dado adicional; vou mostrar como proceder em termos de n e dar exemplos numéricos ilustrativos.

Passo 2

Escolha do método e definição das hipóteses (motivo e fórmula do teste).\n
  • O que queremos é comparar a média observada na campanha \bar{x}=270 com o valor histórico \mu_0=250. Isso é naturalmente formulado como um teste de hipótese sobre a média da população com base numa amostra: a hipótese nula declara que a verdadeira média durante a campanha é igual ao valor histórico, e a alternativa declara que é diferente (a pergunta diz “para mais ou para menos”, logo o teste é bilateral).\n
  • Formalmente as hipóteses são:\n
H_0: \mu = 250\n
H_1: \mu \neq 250\n
  • Como a variância populacional não é conhecida explicitamente, usamos o desvio amostral s como estimativa da variabilidade e o teste apropriado é o teste t de Student (teste t unilateral/bilateral para uma média). O estatístico de teste tem a forma\n
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}},\n
onde:\n
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=270);\n
  • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui \mu_0=250);\n
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=60);\n
  • n é o tamanho da amostra (número de dias observados durante a campanha);\n
  • Sob H_0 e se os dados vêm de uma Normal, esse t tem distribuição t_{n-1} (t de Student com n-1 graus de liberdade).\n
    Vou agora aplicar essa fórmula com os números conhecidos, mantendo n simbólico.

Passo 3

Cálculo do estatístico de teste em termos de n.\n
  • Substituindo \bar{x}=270, \mu_0=250, s=60 na definição do t temos\n
t = \frac{270 - 250}{60/\sqrt{n}} = \frac{20}{60/\sqrt{n}} = \frac{20\sqrt{n}}{60} = \frac{1}{3}\sqrt{n}.\n
  • Portanto o valor observado do estatístico t é\n
t_{\text{obs}} = \frac{1}{3}\sqrt{n}.\n
Isto deixa explícito como o resultado depende de n: quanto maior n, maior o t e maior a chance de rejeitar H_0.

Passo 4

Regra de decisão para o teste bilateral ao nível \alpha=0{,}05.\n
  • Para um teste bilateral ao nível \alpha=0{,}05 rejeitamos H_0 se\n
|t_{\text{obs}}| \ge t_{n-1,\,0{,}975},\n
onde t_{n-1,\,0{,}975} é o quantil superior 97{,}5\% da distribuição t com n-1 graus de liberdade (valor crítico para o teste bilateral).\n
  • Em termos práticos, para n grande o t-crítico aproxima-se do quantil normal z_{0{,}975}=1{,}96. Vou apresentar primeiro a aproximação pelo Normal (útil para obter um limite simples) e depois comentar a correção exata com t-críticos.

Passo 5

Usando a aproximação normal (fácil de calcular) para obter um limite aproximado em n.\n
  • Aproximando t_{n-1,\,0{,}975}\approx z_{0{,}975}=1{,}96, a condição de rejeição fica\n
\frac{1}{3}\sqrt{n} \ge 1{,}96.\n
  • Isolando n:\n
\sqrt{n} \ge 1{,}96\cdot 3 = 5{,}88\n
n \ge 5{,}88^2 \approx 34{,}57.\n
  • Ou seja, pela aproximação normal, se n \gtrsim 35 dias observados durante a campanha então teremos t_{\text{obs}} grande o suficiente para rejeitar H_0 ao nível de 5\%. Se n for menor que isso, pela aproximação normal não rejeitamos.\n
  • Observação: essa é uma aproximação; como usamos o t de Student, o valor crítico exato para pequenas amostras é um pouco maior que 1{,}96, então a exigência real em n sobe um pouco (vamos comentar a correção exata a seguir).

Passo 6

Correção exata com a distribuição t (valor crítico exato) e exemplos numéricos.\n
  • A comparação exata exige o valor t_{n-1,\,0{,}975}. Vou comparar alguns n típicos para dar uma ideia:\n
    • Se n=25 então \sqrt{n}=5, t_{\text{obs}}=5/3\approx 1{,}6667. O crítico t_{24,0{,}975}\approx 2{,}064. Como 1{,}667 < 2{,}064, não rejeitamos.\n
    • Se n=36 então \sqrt{n}=6, t_{\text{obs}}=2{,}0. O crítico t_{35,0{,}975}\approx 2{,}030. Como 2{,}0 < 2{,}030, ainda não rejeitamos (por pouco).\n
    • Se n=38 então \sqrt{n}\approx 6{,}1644, t_{\text{obs}}\approx 2{,}0548. O crítico t_{37,0{,}975}\approx 2{,}026. Agora 2{,}0548 > 2{,}026, então rejeitamos.\n
  • Conclusão prática: o limite exato fica um pouco acima de 35; numericamente, por exemplo, com n=38 já rejeitamos ao nível 5\%, enquanto com n=36 ainda não rejeitamos. Portanto, para tomar a decisão concreta é preciso saber n; usando a aproximação normal podemos dizer que por volta de n\approx 35 é o ponto em que a conclusão muda, e usando os valores t exatos o ponto fica em torno de n\approx 37\text{–}38.

Passo 7

Cálculo do p‑valor (resposta do item (b)) — expressão geral e aproximação numérica.\n
  • O p‑valor para o teste bilateral é (em termos da distribuição t)\n
p = 2\left(1 - F_{t_{n-1}}\big(|t_{\text{obs}}|\big)\right),\n
onde F_{t_{n-1}} é a função de distribuição acumulada da t com n-1 graus de liberdade e t_{\text{obs}} = \tfrac{1}{3}\sqrt{n}.\n
  • Em aproximação normal (para n grande) podemos escrever\n
p \approx 2\left(1 - \Phi\!\left(\tfrac{1}{3}\sqrt{n}\right)\right),\n
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.\n
  • Exemplos para intuir o valor:\n
    • Se n=36 então t_{\text{obs}}=2{,}0 e a aproximação normal dá p\approx 2(1-\Phi(2{,}0))\approx 2(0{,}0228)=0{,}0456.\n
    • Se n=25 então t_{\text{obs}}\approx 1{,}667 e p\approx 2(1-\Phi(1{,}667))\approx 2(0{,}0478)\approx 0{,}0956 (não significativo a 5\%).\n
  • Portanto a resposta ao item (b) é: o nível de significância a partir do qual a conclusão mudaria (ou seja, o menor \alpha para o qual rejeitamos) é exatamente o p‑valor dado acima; numericamente ele depende de n. Por exemplo, para n=36 o p‑valor é aproximadamente 0{,}046.

Passo 8

Intervalo de confiança de 95\% para a média (item (c)) — fórmula geral e forma aproximada.\n
  • O intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para a média, quando a variância é desconhecida, é dado por\n
\bar{x} \pm t_{n-1,\,1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.\n
  • Para 95\% (ou seja, \alpha=0{,}05) isso fica\n
\text{IC}_{95\%}:\quad \bar{x} \pm t_{n-1,\,0{,}975}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.\n
  • Substituindo \bar{x}=270 e s=60 obtemos a expressão concreta (ainda em termos de n):\n
\text{IC}_{95\%} = 270 \pm t_{n-1,\,0{,}975}\,\frac{60}{\sqrt{n}}.\n
  • Aproximação usando z_{0{,}975}=1{,}96 (válida para n grande):\n
\text{IC}_{95\%}\approx 270 \pm 1{,}96\cdot\frac{60}{\sqrt{n}} = 270 \pm \frac{117{,}6}{\sqrt{n}}.\n
  • Novamente, sem o valor numérico de n não há como dar os limites numéricos finais; mas a fórmula acima é o que você deve aplicar na prova: calcule \frac{60}{\sqrt{n}}, multiplique pelo quantil t_{n-1,0{,}975} e some/subtraia de 270.\n
  • Observação conceitual sobre interpretação: um intervalo de 95\% significa que, sob o modelo e procedimento, em repetições independentes do experimento o procedimento produziria um intervalo que contém a verdadeira média em 95\% das repetições.

Passo 9

Resposta à última parte do item (c) (100 postos independentes, quantos intervalos conterão o verdadeiro valor?).\n
  • Se cada posto constrói de forma independente um intervalo de confiança com nível 95\%, então para cada posto a probabilidade do intervalo conter o verdadeiro parâmetro é 0{,}95.\n
  • Para 100 postos independentes, o número esperado de intervalos que conterão o verdadeiro valor é 100 \times 0{,}95 = 95.\n
  • Portanto, aproximadamente 95 intervalos (dos 100) conterão o verdadeiro valor da média. Essa é uma resposta pela expectativa; se quiser, você também pode modelar isso por uma binomial \text{Binomial}(100,0{,}95) para discutir variabilidade ao redor de 95, mas a resposta pedida é a aproximação por 95.

Resposta

(a) Depende do número de dias n observados durante a campanha. O estatístico é t_{\text{obs}}=\tfrac{1}{3}\sqrt{n}. Rejeita‑se H_0 ao nível \alpha=0{,}05 se |t_{\text{obs}}|\ge t_{n-1,\,0{,}975}. Pela aproximação normal isso exige n\gtrsim 35; usando os quantis t exatos o limite fica por volta de n\approx 37\text{–}38 (por exemplo, para n=38 rejeita‑se, para n=36 não rejeita‑se).\n
(b) O nível de significância a partir do qual a conclusão mudaria é o p‑valor do teste, dado por\n p = 2\Big(1 - F_{t_{n-1}}\big(\tfrac{1}{3}\sqrt{n}\big)\Big),\nonde F_{t_{n-1}} é a FDC da t com n-1 graus de liberdade. Em aproximação normal p\approx 2\big(1-\Phi(\tfrac{1}{3}\sqrt{n})\big). (Ex.: para n=36, p\approx 0{,}046.)\n
(c) O intervalo de confiança de 95\% é\n \text{IC}_{95\%}=270 \pm t_{n-1,\,0{,}975}\,\frac{60}{\sqrt{n}},\nou, por aproximação (para n grande), \text{IC}_{95\%}\approx 270 \pm 1{,}96\cdot\frac{60}{\sqrt{n}} = 270 \pm \dfrac{117{,}6}{\sqrt{n}}. \nSe a campanha for em 100 postos independentes e cada posto construir um intervalo de 95\%, aproximadamente 95 desses intervalos conterão o verdadeiro valor da média.

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