Considere uma casca cilíndrica (sem tampas) de raio R e comprimento L carregada uniformemente com uma densidade superficial de carga sigma. Determine o campo elétrico ao longo do eixo de simetria perpendicular à base do cilindro (aquele que passa pelo eixo do cilindro). Teste seu resultado em algum limite.

Passo 1

O exercício pede o campo elétrico ao longo do eixo de simetria (o eixo cilíndrico, vamos chamar de eixo z) de uma casca cilíndrica de raio R, comprimento L e densidade superficial de carga σ.
Conteúdo envolvido: Lei de Coulomb, superposição de campos e integração para um elemento de carga.
O que vamos precisar:
  • Expressar o cilindro como um “empilhamento” de anéis de espessura dz′.
  • Usar a fórmula do campo de um anel carregado no seu eixo.
  • Integrar ao longo de z′ de 0 até L.

Passo 2

Dividimos a casca em anéis de raio R e espessura dz′ localizados em z′.
  1. Cada anel tem área dA = (circunferência)·(espessura) = 2πR·dz′.
  2. A carga desse anel é
dq = sigma,dA = sigma,(2pi R,dz'),
  1. Um ponto P no eixo está na coordenada z; a distância de P até o anel em z′ é
r = raiz(z - z')^2 + R^2,
  1. O campo de um anel no seu eixo tem módulo
dE = 14pivarepsilon0,dqr^2
mas só a componente ao longo do eixo (z) contribui, multiplicada por dEz = 14pivarepsilon0,dqr^2,z - z'r ;=; 14pivarepsilon0,sigma,(2pi R,dz'),(z - z')l[(z - z')^2+R^2r]^3/2, .
Logo,

Passo 3

Colocando tudo num único integral de 0 a L:
Ez = integralz'=0^L sigma,2pi R4pivarepsilon0,z - z'l[(z - z')^2+R^2r]^3/2,dz' = sigma R2varepsilon0integral0^Lz - z'l[(z - z')^2+R^2r]^3/2,dz'
Para resolver
,
note que é derivada de
.
De fato,
.
Então o integral dá
.

Passo 4

Substituindo os limites z′=0 e z′=L:
Ez = sigma R2varepsilon0,gl[1raiz(z - L)^2 + R^2 ;-;1raizz^2 + R^2gr]
O sinal mostra se o campo aponta para +z ou –z, dependendo de onde P está (acima ou entre as bases).

Passo 5

Teste em z ≫ L,R (ponto muito longe):
Ez approx sigma R2varepsilon0l(tfrac1z-L-tfrac1zr)approx sigma R2varepsilon0,Lz^2 = sigma,2pi R L4pivarepsilon0,z^2 = Q4pivarepsilon0,z^2,.
Então
que é o campo de uma carga pontual Q = σ·(área da casca) = σ·2πR·L.

Resposta

boxed Ez(z) = sigma,R2,varepsilon0,gl[1raiz(z - L)^2 + R^2;-;1raizz^2 + R^2gr],,
no sentido do eixo z (com o sinal indicando direção).

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