Considere uma casca cilíndrica (sem tampas) de raio R e comprimento
carregada uniformemente com uma densidade superficial de carga
. Determine o campo elétrico ao longo do eixo de simetria perpendicular à base do cilindro (aquele que passa pelo eixo do cilindro). Teste seu resultado em algum limite.
Passo 1
O exercício pede o campo elétrico ao longo do eixo de simetria (o eixo cilíndrico, vamos chamar de eixo z) de uma casca cilíndrica de raio R, comprimento L e densidade superficial de carga σ.
Conteúdo envolvido: Lei de Coulomb, superposição de campos e integração para um elemento de carga.
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: Lei de Coulomb, superposição de campos e integração para um elemento de carga.
O que vamos precisar:
- Expressar o cilindro como um “empilhamento” de anéis de espessura dz′.
- Usar a fórmula do campo de um anel carregado no seu eixo.
- Integrar ao longo de z′ de 0 até L.
Passo 2
Dividimos a casca em anéis de raio R e espessura dz′ localizados em z′.
- Cada anel tem área dA = (circunferência)·(espessura) = 2πR·dz′.
- A carga desse anel é
- Um ponto P no eixo está na coordenada z; a distância de P até o anel em z′ é
- O campo de um anel no seu eixo tem módulo
mas só a componente ao longo do eixo (z) contribui, multiplicada por
.
Logo,
Logo,
Passo 3
Colocando tudo num único integral de 0 a L:
Para resolver
,
note que é derivada de
.
De fato,
.
Então o integral dá
.
note que é derivada de
De fato,
Então o integral dá
Passo 4
Substituindo os limites z′=0 e z′=L:
O sinal mostra se o campo aponta para +z ou –z, dependendo de onde P está (acima ou entre as bases).
Passo 5
Teste em z ≫ L,R (ponto muito longe):
.
Então
Então
que é o campo de uma carga pontual Q = σ·(área da casca) = σ·2πR·L.
Resposta
no sentido do eixo z (com o sinal indicando direção).