Numa linha de produção, entre as peças fabricadas pelas máquinas há uma proporção de
de peças defeituosas. As peças são armazenadas em caixas de seis unidades.
(a) Seja
a v.a. que representa o número de peças defeituosas por caixa. Determinar a função de probabilidade, a esperança e a variância de
.
(b) Se uma caixa apresentar duas ou mais peças defeituosas, ela é devolvida. Calcular a probabilidade de que, num lote de cinco caixas, três delas sejam devolvidas.
(a) Seja
(b) Se uma caixa apresentar duas ou mais peças defeituosas, ela é devolvida. Calcular a probabilidade de que, num lote de cinco caixas, três delas sejam devolvidas.
Passo 1
Beleza, então o problema diz que cada peça tem probabilidade
de ser defeituosa, e elas vêm em caixinhas de
unidades.
(a) A gente define = número de peças defeituosas numa caixa de 6; precisa achar a função de probabilidade de
, a esperança
e a variância
.
(b) Se uma caixa tiver 2 ou mais defeitos, ela é devolvida. Num lote de 5 caixas, qual a chance de exatamente 3 voltarem?
(a) A gente define
(b) Se uma caixa tiver 2 ou mais defeitos, ela é devolvida. Num lote de 5 caixas, qual a chance de exatamente 3 voltarem?
O conteúdo aqui é: variável aleatória binomial (contar “sucessos” em
tentativas independentes de Bernoulli), fórmula da pmf, e as fórmulas
,
.
Passo 2
Vamos modelar
como Binomial
.
Teoria básica: em ensaios independentes onde cada um dá “sucesso” com probabilidade
, a probabilidade de ter exatamente
sucessos é
Teoria básica: em
Aqui,
Passo 3
Agora a esperança de
.
Teoria: para ,
Teoria: para
Portanto
Passo 4
Em seguida, a variância de
.
Teoria: para binomial,
Teoria: para binomial,
Logo
Passo 5
Parte (b): uma caixa é devolvida se tiver pelo menos 2 defeitos, ou seja
. Chamemos
Calculemos:
Numericamente
Agora, num lote de 5 caixas, o número de caixas devolvidas
segue
.
Passo 6
Queremos
. De novo a fórmula binomial:
Resposta
(a)
com
(b) A probabilidade de, em 5 caixas, exatamente 3 serem devolvidas é