Numa linha de produção, entre as peças fabricadas pelas máquinas há uma proporção de 10 % de peças defeituosas. As peças são armazenadas em caixas de seis unidades.
(a) Seja X a v.a. que representa o número de peças defeituosas por caixa. Determinar a função de probabilidade, a esperança e a variância de X.
(b) Se uma caixa apresentar duas ou mais peças defeituosas, ela é devolvida. Calcular a probabilidade de que, num lote de cinco caixas, três delas sejam devolvidas.

Passo 1

Beleza, então o problema diz que cada peça tem probabilidade de ser defeituosa, e elas vêm em caixinhas de unidades.
(a) A gente define = número de peças defeituosas numa caixa de 6; precisa achar a função de probabilidade de , a esperança e a variância .
(b) Se uma caixa tiver 2 ou mais defeitos, ela é devolvida. Num lote de 5 caixas, qual a chance de exatamente 3 voltarem?
O conteúdo aqui é: variável aleatória binomial (contar “sucessos” em tentativas independentes de Bernoulli), fórmula da pmf, e as fórmulas , .

Passo 2

Vamos modelar P(X=k);=;binomnk,p^k,(1-p)^,n-k, como Binomial P(X=k);=;binom6k,(0.1)^k,(0.9)^6-k, k=0,1,2,dots,6 .
Teoria básica: em ensaios independentes onde cada um dá “sucesso” com probabilidade , a probabilidade de ter exatamente sucessos é
Aqui,

Passo 3

Agora a esperança de E[X]=n,p .
Teoria: para E[X]=6times0.1=0.6 ,
Portanto

Passo 4

Em seguida, a variância de Var(X)=n,p,(1-p) .
Teoria: para binomial,
Var(X)=6times0.1times0.9=0.54
Logo

Passo 5

Parte (b): uma caixa é devolvida se tiver pelo menos 2 defeitos, ou seja q = P(devolver) = P(X>=2) = 1 - l[P(X=0)+P(X=1)r] . Chamemos
P(X=0) = (0.9)^6, P(X=1) = binom61(0.1)(0.9)^5 = 6cdot0.1cdot(0.9)^5
Calculemos:
P(X=0)approx0.9^6=0.531441, P(X=1)approx6times0.1times0.9^5=0.354294,
Numericamente
q = 1 - (0.531441+0.354294)approx0.114265
Agora, num lote de 5 caixas, o número de caixas devolvidas segue .

Passo 6

Queremos P(Y=3)=binom53,q^3,(1-q)^2 =10,(0.114265)^3,(0.885735)^2 approx0.0117 . De novo a fórmula binomial:

Resposta

(a) P(X=k)=binom6k(0.1)^k(0.9)^6-k, E[X]=0.6, Var(X)=0.54 com
P(Y=3)approx0.0117
(b) A probabilidade de, em 5 caixas, exatamente 3 serem devolvidas é

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