Uma pessoa paga R$ 4 para entrar num jogo de dados. Ao lançar um dado, o jogador recebe da banca, em reais, o mesmo número de pontos do resultado do lance.
a) Calcular o valor esperado e a variância do ganho para o jogador.
b) Esse jogo é equilibrado? Quem leva vantagem, a longo prazo: o jogador ou a banca?
c) Que valor deve ser pago para se entrar no jogo de forma que esse seja equilibrado?
a) Calcular o valor esperado e a variância do ganho para o jogador.
b) Esse jogo é equilibrado? Quem leva vantagem, a longo prazo: o jogador ou a banca?
c) Que valor deve ser pago para se entrar no jogo de forma que esse seja equilibrado?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente precisa saber.
Enunciado em resumo: o jogador paga R$ 4 para entrar, joga um dado honesto (faces 1 a 6) e recebe da banca um valor em reais igual ao número que saiu no dado. A gente quer:
a) valor esperado e variância do ganho do jogador (ou seja, o que sobra depois de pagar os R$ 4);
b) dizer se o jogo é equilibrado e quem tem vantagem a longo prazo;
c) achar o preço de entrada que deixaria o jogo equilibrado.
Conteúdo: variável aleatória discreta, expectativa e variância. Fórmulas principais que vamos usar:
,
.
Enunciado em resumo: o jogador paga R$ 4 para entrar, joga um dado honesto (faces 1 a 6) e recebe da banca um valor em reais igual ao número que saiu no dado. A gente quer:
a) valor esperado e variância do ganho do jogador (ou seja, o que sobra depois de pagar os R$ 4);
b) dizer se o jogo é equilibrado e quem tem vantagem a longo prazo;
c) achar o preço de entrada que deixaria o jogo equilibrado.
Conteúdo: variável aleatória discreta, expectativa e variância. Fórmulas principais que vamos usar:
Passo 2
Definindo a variável aleatória: seja
o valor que o jogador recebe no lance (ou seja, 1,2,…,6 com probabilidade
), e o ganho líquido do jogador é
Primeiro a gente calcula
. Como o dado é justo,
Então
Isso quer dizer que, em média, o jogador perde R$ 0,50 por rodada.
Passo 3
Agora a variância. Primeiro achamos
:
Logo
Como
e subtrair constante não muda a variância, temos
Passo 4
b) Jogo equilibrado significa
. Aqui
, ou seja, negativo. Então o jogador, a longo prazo, perde em média e a vantagem é da banca.
Passo 5
c) Se quisermos um jogo justo, a entrada deve ser um valor
tal que
Resposta
a)
,
.
b) Não é equilibrado (o jogador perde em média; vantagem da banca).
c) Entrada justa: R$ 3,50.
b) Não é equilibrado (o jogador perde em média; vantagem da banca).
c) Entrada justa: R$ 3,50.