Uma pessoa paga R$ 4 para entrar num jogo de dados. Ao lançar um dado, o jogador recebe da banca, em reais, o mesmo número de pontos do resultado do lance.
a) Calcular o valor esperado e a variância do ganho para o jogador.
b) Esse jogo é equilibrado? Quem leva vantagem, a longo prazo: o jogador ou a banca?
c) Que valor deve ser pago para se entrar no jogo de forma que esse seja equilibrado?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente precisa saber.
Enunciado em resumo: o jogador paga R$ 4 para entrar, joga um dado honesto (faces 1 a 6) e recebe da banca um valor em reais igual ao número que saiu no dado. A gente quer:
a) valor esperado e variância do ganho do jogador (ou seja, o que sobra depois de pagar os R$ 4);
b) dizer se o jogo é equilibrado e quem tem vantagem a longo prazo;
c) achar o preço de entrada que deixaria o jogo equilibrado.
Conteúdo: variável aleatória discreta, expectativa e variância. Fórmulas principais que vamos usar:
4 para entrar, joga um dado honesto (faces 1 a 6) e recebe da banca um valor em reais igual ao número que saiu no dado A >=nte quer: a) valor esperado e variância do ganho do jogador (ou seja, o que sobra depois de pagar os R,
.

Passo 2

Definindo a variável aleatória: seja G = X - 4 o valor que o jogador recebe no lance (ou seja, 1,2,…,6 com probabilidade E[X] = sumk=1^6 kcdot16 = 1+2+3+4+5+66 = 216 = 3,5 ), e o ganho líquido do jogador é
E[G] = E[X-4] = E[X] - 4 = 3,5 - 4 = -0,5
Primeiro a gente calcula . Como o dado é justo,
Então
Isso quer dizer que, em média, o jogador perde R$ 0,50 por rodada.

Passo 3

Agora a variância. Primeiro achamos E[X^2] = sumk=1^6 k^2cdot16 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^26 = 1+4+9+16+25+366 = 916 :
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 916 - (3,5)^2 = 916 - 12,25 = 91 - 73,56 = 17,56 = 3512approx2,9167
Logo
Var(G)=Var(X)=3512
Como e subtrair constante não muda a variância, temos

Passo 4

b) Jogo equilibrado significa . Aqui , ou seja, negativo. Então o jogador, a longo prazo, perde em média e a vantagem é da banca.

Passo 5

c) Se quisermos um jogo justo, a entrada deve ser um valor E[X - c] = 0 Longrightarrow E[X] - c = 0 Longrightarrow c = E[X] = 3,5 tal que

Resposta

a) , .
b) Não é equilibrado (o jogador perde em média; vantagem da banca).
c) Entrada justa: R$ 3,50.

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