Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável Xi que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja p=0,1 ( 10 % ).
Determine a média e a variância de Xi para i=1, ldots, n;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que em uma linha de produção cada peça tem uma variável aleatória que vale 1 se a peça for defeituosa e 0 caso contrário. As peças são independentes e a chance de defeito é .
Conteúdo: distribuição de Bernoulli, esperança e variância.
O que precisamos: lembrar as fórmulas de e para uma Bernoulli e aplicar com .

Passo 2

Antes de mais nada, vamos entender a Bernoulli.
Uma variável P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p ~ Bernoulli( ) significa que
Ou seja, só tem esses dois valores possíveis.

Passo 3

Esperança (média) de uma Bernoulli.
Por definição,
E[X] = sumxin0,1 x ,P(X=x) = 0cdot P(X=0) + 1cdot P(X=1) = 0cdot(1-p) + 1cdot p = p
Como aqui E[Xi] = p = 0,1 , temos

Passo 4

Variância de Var(X) = E[X^2] - l(E[X]r)^2 .
A fórmula geral é
E[X^2] = E[X] = p
Mas reparou que, para Var(X) = p - p^2 = p,(1-p) , temos Var(Xi) = 0,1 times (1 - 0,1) = 0,1 times 0,9 = 0,09 ? Então
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Resposta

Esperança:
Variância:

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