Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável
que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja
(
).
Determine a média e a variância de
para
;
Determine a média e a variância de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que em uma linha de produção cada peça tem uma variável aleatória
que vale 1 se a peça for defeituosa e 0 caso contrário. As peças são independentes e a chance de defeito é
.
Conteúdo: distribuição de Bernoulli, esperança e variância.
O que precisamos: lembrar as fórmulas de e
para uma Bernoulli e aplicar com
.
Conteúdo: distribuição de Bernoulli, esperança e variância.
O que precisamos: lembrar as fórmulas de
Passo 2
Antes de mais nada, vamos entender a Bernoulli.
Uma variável ~ Bernoulli(
) significa que
Uma variável
Ou seja, só tem esses dois valores possíveis.
Passo 3
Esperança (média) de uma Bernoulli.
Por definição,
Por definição,
Como aqui
, temos
Passo 4
Variância de
.
A fórmula geral é
A fórmula geral é
Mas reparou que, para
, temos
? Então
Logo
Substituindo
:
Resposta
Esperança:
Variância:
Variância: