Suponha que os tempos de atendimento de clientes em um guichê sejam variáveis aleatórias X1, X2, ldots, Xn i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com média mu=15 min e variância sigma^2=16 min^2. Defina o tempo médio de atendimento como
barX=1n sumi=1^n Xi
Responda à mesma pergunta anterior usando uma aproximação normal para barX obtida pelo Teorema Central do Limite.

Passo 1

Beleza, antes de mais nada vamos resumir o que foi pedido: temos tempos de atendimento bar X = 1nsumi=1^n Xi i.i.d. com média min e variância min². Definimos a média amostral
A missão é “responder à mesma pergunta anterior” mas agora usando o Teorema Central do Limite (TCL), que nos permite aproximar a distribuição de por uma normal.
O que vamos precisar:
  • Entender o enunciado (já fizemos)
  • Saber o enunciado anterior (que envolve calcular alguma probabilidade envolvendo )
  • Aplicar o TCL para escrever
  • Padronizar e usar a função de distribuição da normal padrão

Passo 2

Teorema Central do Limite (TCL) na mão: se bar X ;approx; N!l(mu,;sigma^2nr) são i.i.d. com média bar X ;approx; N!l(15,;16nr) e variância , então para “grande”
Aqui e , logo

Passo 3

A variância da média é raiztfrac16n ;=;4raiz n , então o desvio-padrão é
Pl(bar X <= cr) ou Pl(a <= bar X <= br),
Em seguida, para calcular qualquer probabilidade do tipo
Z = bar X - 154/raiz n ;approx; N(0,1)
a gente padroniza usando

Passo 4

– Se a pergunta for “ P(bar X <= c) ;approx; P!l(Z <= c-154/raiz nr) ;=; Phi!l(c-154/raiz nr) ”,
P(a <= bar X <= b) ;approx; Phi!l(tfracb-154/raiz nr) -Phi!l(tfraca-154/raiz nr)
– Se a pergunta for “ ”,
Aqui é a função distribuição da normal padrão.

Resposta

Usando o Teorema Central do Limite, a média amostral satisfaz
bar X ;approx; N!l(15,;16/nr),
então qualquer probabilidade envolvendo se converte numa avaliação de conforme mostrado em #Passo 4.

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