Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável Xi que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja p=0,1 ( 10 % ).
Considerando n=25 e usando a aproximação Normal obtida acima, calcule a probabilidade de observarmos uma amostra com proporção de peças defeituosas maior do que 0,2 (20%);

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma linha de produção com peças, cada peça i é defeituosa ( hat p = 1nsumi=1^n Xi ) com probabilidade Pl(hat p>0,2r) e não defeituosa ( ) com probabilidade . Coletamos peças e definimos a proporção de defeitos na amostra como
O que o exercício pede: usando a aproximação normal para essa proporção, calcular
Conteúdo da matéria: distribuição binomial, aproximação normal para proporção (Teorema do Limite Central), cálculo de Z-score e uso da tabela da Normal padrão.

Passo 2

Primeiro a gente lembra da teoria: quando E[hat p] = p, Var(hat p) = p(1-p)n são independentes e identicamente distribuídos Bernoulli( E[hat p] = 0,1, Var(hat p) = 0,1cdot0,925 = 0,0925 = 0,0036 ), a média e a variância da proporção sigmahat p = raiz0,0036 = 0,06 são
No nosso caso, e , então
Logo o desvio-padrão é

Passo 3

Agora a gente transforma o evento Z = hat p - E[hat p]sigmahat p = hat p - 0,10,06, em uma probabilidade de P(hat p > 0,2) = P!l(hat p - 0,10,06 > 0,2 - 0,10,06r) = Pl(Z > z0r), , onde
z0 = 0,2 - 0,10,06 = 0,10,06 approx 1,6667
que, pela aproximação, é ~ . Então
com

Passo 4

Consulta na tabela da Normal padrão ou em calculadora dá
P(Z > 1,6667)approx 0,0478

Resposta

A probabilidade de observarmos mais de 20% de peças defeituosas (usando aproximação normal) é aproximadamente (ou seja, 4,78%).

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