Suponha que os tempos de atendimento de clientes em um guichê sejam variáveis aleatórias X1, X2, ldots, Xn i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com média mu=15 min e variância sigma^2=16 min^2. Defina o tempo médio de atendimento como
barX=1n sumi=1^n Xi
Use a Desigualdade de Tchebychev para determinar o menor valor de n para que
P(|barX-mu|<1) >= 0,90
o tempo médio observado na amostra (barX) difere do tempo médio teórico mu por menos de 1 min com probabilidade maior ou igual a 0,90 , isto é, mu in(barX-1, barX+1) com probabilidade de pelo menos 90 %;

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: a gente tem tempos de atendimento bar X = 1nsumi=1^n Xi i.i.d. com média Pl(|bar X - mu| < 1r) >= 0,90 min e variância min². Definimos a média amostral
e queremos achar o menor tal que
Isso é um problema de probabilidade/estatística usando a Desigualdade de Tchebychev. Vamos precisar da variância de e do enunciado da desigualdade.

Passo 2

Lembra da Desigualdade de Tchebychev? Ela diz, pra qualquer variável aleatória Pl(|Y - muY| >= varepsilonr) ;<=; sigmaY^2varepsilon^2 com média Var(bar X) = Varl(tfrac1nsumi=1^n Xir) = 1n^2sumi=1^nVar(Xi) = n;sigma^2n^2 = sigma^2n = 16n e variância , que
Aqui vamos aplicar com , e . Primeiro, precisamos da variância de . Como as são independentes com variância , vale

Passo 3

Queremos Pl(|bar X-mu|<1r) = 1 - Pl(|bar X-mu|>=1r) ;>=; 1 - Var(bar X)1^2 = 1 - 16/n1 = 1 - 16n . A desigualdade de Tchebychev fala de 1 - 16n ;>=; 0,90 , então a gente inverte:
Aí impomos

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade para 1 - 16n >= 0,90 Longrightarrow -16n >= -0,10 Longrightarrow 16n <= 0,10 Longrightarrow n >= 160,10 = 160 :

Resposta

O menor valor de boxedn = 160 que garante

pela Desigualdade de Tchebychev é

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