Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável Xi que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja p=0,1 ( 10 % ).
A proporção de peças defeituosas na amostra é dada por
barX=1n sumi=1^n Xi
Determine o valor médio e a variância de barX usando as propriedades da esperança e da variância.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem uma amostra de P(Xi = 1) = p = 0,1 peças e cada peça bar X = 1nsumi=1^n Xi dá origem a uma variável aleatória que vale 1 se a peça é defeituosa e 0 caso contrário. Assumimos que cada é independente e que
A estatística que nos interessa é a proporção de defeituosas na amostra, que chamamos de
O conteúdo aqui é cálculo de esperança e variância de variáveis aleatórias, usando:
  • linearidade da esperança: ,
  • e propriedades de variância para variáveis independentes:
    • ,
    • se forem independentes.

Passo 2

Primeiro, a esperança de cada E(Xi) = 1cdot p + 0cdot(1-p) = p . Como E(bar X) = El(1nsumi=1^n Xir) = 1nsumi=1^n E(Xi) = 1nsumi=1^n p = npn = p é variável de Bernoulli com parâmetro , temos
Então, usando linearidade da esperança,

Passo 3

Agora a variância. Primeiro lembramos que para cada Var(Xi) = p(1-p) de Bernoulli vale
Varl(sumi=1^n Xir) = sumi=1^n Var(Xi) = sumi=1^n p(1-p) = np(1-p)
Como as Var(bar X) = Varl(1nsumi=1^n Xir) = 1n^2,Varl(sumi=1^n Xir) = 1n^2,np(1-p) = p(1-p)n são independentes,
Mas nós queremos . Note que , então aplica a propriedade :

Resposta

Esperança de E(bar X) = p = 0,1 :
Var(bar X) = p(1-p)n = 0,1cdot0,9n = 0,09n
Variância de :

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