Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável
que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja
(
).
A proporção de peças defeituosas na amostra é dada por
Determine o valor médio e a variância de
usando as propriedades da esperança e da variância.
A proporção de peças defeituosas na amostra é dada por
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem uma amostra de
peças e cada peça
dá origem a uma variável aleatória
que vale 1 se a peça é defeituosa e 0 caso contrário. Assumimos que cada
é independente e que
A estatística que nos interessa é a proporção de defeituosas na amostra, que chamamos de
O conteúdo aqui é cálculo de esperança e variância de variáveis aleatórias, usando:
- linearidade da esperança:
, - e propriedades de variância para variáveis independentes:
-
, -
se forem independentes.
-
Passo 2
Primeiro, a esperança de cada
. Como
é variável de Bernoulli com parâmetro
, temos
Então, usando linearidade da esperança,
Passo 3
Agora a variância. Primeiro lembramos que para cada
de Bernoulli vale
Como as
são independentes,
Mas nós queremos
. Note que
, então aplica a propriedade
:
Resposta
Esperança de
:
Variância de
: