Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável Xi que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja p=0,1 ( 10 % ).
Note que a proporção de defeitos barX pode ser escrita como
barX=Sn, S sim Binomial(n, p)
sendo que a função de probabilidade de X é dada por
pS(k)=P(S=k)=binomnk p^k(1-p)^n-k, k=0,1,2, ldots, n
A partir desta informação, calcule de maneira exata a probabilidade do evento dado no item anterior. Use uma planilha eletrônica ou software para efetuar este cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos na mão.
– Matéria: Distribuição Binomial.
– Enunciado resumido: Você pega uma amostra de S = sumi=1^n Xi, peças. Cada peça é defeituosa com probabilidade Ssim Binomial(n,p), bar X = Sn , independente das outras. Seja
P(Sin A)
onde se a peça é defeituosa e caso contrário. Então
– O que precisamos: a “probabilidade exata do evento do item anterior”, isto é, alguma probabilidade do tipo
para um certo conjunto .

Passo 2

Antes de mais nada, lembrar a fórmula da probabilidade de cada valor P(S=k) =binomnk,p^k,(1-p)^,n-k, k=0,1,dots,n :
Isto vem da definição de Binomial: escolher defeitos em , cada um com probabilidade , e os outros não defeituosos com .

Passo 3

Se o evento do item anterior for, por exemplo, “até P(S<= k0) =sumk=0^k0binomnk,p^k,(1-p)^,n-k defeitos” ( P(S>k1) =sumk=k1+1^nbinomnk,p^k,(1-p)^,n-k ), a probabilidade exata é
Se for “mais de defeitos” ( ), a gente faz

Passo 4

Como usar planilha (Excel, LibreOffice, Google Sheets) ou software estatístico:
  1. No Excel, use a função BINOM.DIST. Por exemplo, para :
    =BINOM.DIST(k0; n; p; VERDADEIRO)
  2. Para específico:
    =BINOM.DIST(k; n; p; FALSO)
  3. Em R, por exemplo,
    pbinom(k0, size=n, prob=p) para a soma até , ou
    dbinom(k, size=n, prob=p) para .

Resposta

A probabilidade exata do evento “ boxedP(Sin A);=;sumkin Abinomnk,p^k,(1-p)^,n-k ” é
Basta, então, substituir pelo conjunto de interesse e usar a função binomial na planilha ou software.

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