Suponha que X1, X2, ldots, Xn sejam réplicas i.i.d de uma variável X com distribuição uniforme sobre o conjunto 1,2,3,4,5,6. Defina a média amostral como
barX=1n sumi=1^n Xi
Determine mu=E[X] e sigma^2=Var[X] as médias e variâncias populacionais de X;

Passo 1

Beleza, o que temos aqui? O exercício fala de um dado “viciado” no sentido de que ele só assume valores 1,2,3,4,5 ou 6, todos com a mesma chance (variável uniforme discreta). A gente chama isso de . Precisamos achar duas coisas:
  1. A média (populacional) .
  2. A variância (populacional) .
Para isso, vamos usar as definições básicas:
  • .
  • .

Passo 2

Calcular E[X] ;=; sumx=1^6 xcdot 16 ;=; 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 66 .
Como cada face mu = E[X] = 216 = 3,5 tem probabilidade ,
Agora, é uma soma de progressão aritmética com 6 termos, que vale . Logo

Passo 3

Calcular E[X^2] = sumx=1^6 x^2 cdot 16 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^26 .
Precisamos dessa parte para a variância. Fazemos a mesma ideia:
E[X^2] = 916 approx 15,1667
Sabemos que . Assim

Passo 4

Calcular Var(X) = E[X^2] - l(E[X]r)^2 .
A fórmula é
Var(X) = 916 ;-; (3,5)^2 = 916 ;-; 12,25
Substituindo o que achamos:
Var(X) = 916 - 494 = 91cdot 2 - 49cdot 312 = 182 - 14712 = 3512 approx 2,9167
Para juntar frações, escrevemos . Então

Resposta

boxedmu = E[X] = 3,5, sigma^2 = Var(X) = 3512approx 2,9167

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