Seja Zn=0, 1, ldots, n-1.
bara in Zn é dito invertível quando?

Passo 1

O enunciado diz: no conjunto , queremos saber “quando é invertível”. Isso é parte de teoria dos anéis e dos grupos multiplicativos em . Para responder, a gente vai precisar de:
  1. A definição de elemento invertível (existência de inverso multiplicativo).
  2. O conceito de máximo divisor comum, .
  3. O Teorema de Bézout, que explica quando existe solução de .

Passo 2

Definição de invertível: dizemos que bar a cdot bar b ;=;1 é invertível se existe tal que
Aqui é o elemento neutro multiplicativo em . Em outras palavras, multiplicando por algum a gente volta pra “1” modulo .

Passo 3

Agora liga com teoria de números: se ab + n(,-k,) = 1 tem inverso, isto é, , então é múltiplo de . Logo existem inteiros tais que
Isso é exatamente uma combinação linear de e dando . Pelo Teorema de Bézout, isso só acontece se .

Passo 4

Reciprocamente, se ax + ny = 1 , o Teorema de Bézout garante que existem inteiros com
Passando para resto em módulo , , ou seja é o inverso de em .

Resposta

é invertível se, e somente se, .

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