O enunciado diz: no conjunto , queremos saber “quando é invertível”. Isso é parte de teoria dos anéis e dos grupos multiplicativos em . Para responder, a gente vai precisar de:
A definição de elemento invertível (existência de inverso multiplicativo).
O conceito de máximo divisor comum, .
O Teorema de Bézout, que explica quando existe solução de .
Passo 2
Definição de invertível: dizemos que bar a cdot bar b ;=;1 é invertível se existe tal que
Aqui é o elemento neutro multiplicativo em . Em outras palavras, multiplicando por algum a gente volta pra “1” modulo .
Passo 3
Agora liga com teoria de números: se ab + n(,-k,) = 1 tem inverso, isto é, , então é múltiplo de . Logo existem inteiros tais que
Isso é exatamente uma combinação linear de e dando . Pelo Teorema de Bézout, isso só acontece se .
Passo 4
Reciprocamente, se ax + ny = 1 , o Teorema de Bézout garante que existem inteiros com
Passando para resto em módulo , , ou seja é o inverso de em .