Exiba uma bijeção entre o conjunto dos números inteiros e os naturais.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente exibir uma bijeção entre os inteiros
e os naturais
. Ou seja, queremos uma função que “liste” todo inteiro (positivo, negativo e o zero) sem pular nenhum, e faça isso numa correspondência perfeita com os naturais.
Conteúdo: teoria de funções (injetiva, sobrejetiva e, portanto, bijetiva).
O que vamos usar:
Conteúdo: teoria de funções (injetiva, sobrejetiva e, portanto, bijetiva).
O que vamos usar:
- Uma regra que “intercale” inteiros positivos e negativos.
- Definição de injeção e sobrejeção e provas simples.
Passo 2
Vamos definir a função
Por que isso faz sentido?
- Se
, é um número natural par (começando em ). - Se
, então e é ímpar ( ).
Assim a gente intercala:, , , , , etc.
Passo 3
Provar injetividade (não colidem dois inteiros em um mesmo natural):
- Se
, então e . Se , divide por 2 e dá . - Se
, então e . Se , simplifica e dá . - Não há colisão entre caso
e caso , porque um gera sempre número par e o outro sempre ímpar. Par nunca é igual a ímpar.
Logo,é injetiva.
Passo 4
Provar sobrejetividade (para cada
existe
tal que
):
- Se
é par, para algum . Basta escolher , aí . - Se
é ímpar, para algum . Queremos . Então .
Assim todo natural tem um antecessor em.
Resposta
A bijeção é