Exiba uma bijeção entre o conjunto dos números inteiros e os naturais.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente exibir uma bijeção entre os inteiros Z e os naturais N. Ou seja, queremos uma função que “liste” todo inteiro (positivo, negativo e o zero) sem pular nenhum, e faça isso numa correspondência perfeita com os naturais.
Conteúdo: teoria de funções (injetiva, sobrejetiva e, portanto, bijetiva).
O que vamos usar:
  • Uma regra que “intercale” inteiros positivos e negativos.
  • Definição de injeção e sobrejeção e provas simples.

Passo 2

Vamos definir a função
fcolon ZtoN, f(n)= 2n, & se n>= 0, -2,n-1, & se n<0
Por que isso faz sentido?
  • Se n>=0, f(n)=2n é um número natural par (começando em 0,2,4,6,dots).
  • Se n<0, então -n>0 e f(n)=-2n-1 é ímpar ( 1,3,5,7,dots).
    Assim a gente intercala: 0mapsto0, -1mapsto1, 1mapsto2, -2mapsto3, 2mapsto4, etc.

Passo 3

Provar injetividade (não colidem dois inteiros em um mesmo natural):
  1. Se a,b>=0, então f(a)=2a e f(b)=2b. Se 2a=2b, divide por 2 e dá a=b.
  2. Se a,b<0, então f(a)=-2a-1 e f(b)=-2b-1. Se -2a-1=-2b-1, simplifica e dá a=b.
  3. Não há colisão entre caso n>=0 e caso n<0, porque um gera sempre número par e o outro sempre ímpar. Par nunca é igual a ímpar.
    Logo, f é injetiva.

Passo 4

Provar sobrejetividade (para cada minN existe ninZ tal que f(n)=m):
  • Se m é par, m=2k para algum k>=0. Basta escolher n=k>=0, aí f(k)=2k=m.
  • Se m é ímpar, m=2k+1 para algum k>=0. Queremos -2n-1=2k+1implies -2n=2k+2implies n=-(k+1)<0. Então fl(-(k+1)r)=2k+1=m.
    Assim todo natural tem um antecessor em Z.

Resposta

A bijeção é
f(n)= 2n, & n>=0, -2n-1, & n<0

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