Em uma linha de produção, a probabilidade de cada componente resista a um teste de impacto e
, independentemente dos demais. Sto selecionados aleatoriamente 7 componentes.
Qual a probabilidade de que pelo menos um componente resista ao teste de impacto?
Qual a probabilidade de que pelo menos um componente resista ao teste de impacto?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que pelo menos um componente resista ao teste de impacto?” Dados fornecidos (aleatoriamente e independentemente):
Portanto queremos calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos um sucesso (resistência) em
tentativas independentes com probabilidade
em cada tentativa.
Passo 2
Modelagem e fórmula geral (explicação didática):
Cada componente é uma experiência com dois resultados possíveis: “resiste” (sucesso) com probabilidade e “não resiste” (fracasso) com probabilidade
. Quando temos várias experiências independentes iguais, o número de sucessos segue a distribuição binomial. A probabilidade de exatamente
sucessos em
tentativas é dada por
Cada componente é uma experiência com dois resultados possíveis: “resiste” (sucesso) com probabilidade
onde
é o coeficiente binomial que conta de quantas formas escolhemos quais
tentativas deram sucesso entre as
. Aqui, no entanto, não precisamos somar todas as probabilidades de
até
— há um truque prático.
Passo 3
Regra do complementar (por que é mais simples):
A probabilidade de “pelo menos um sucesso” é complementar da probabilidade de “nenhum sucesso”. Ou seja,
A probabilidade de “pelo menos um sucesso” é complementar da probabilidade de “nenhum sucesso”. Ou seja,
Isso é mais simples porque calcular “nenhum” significa que todas as
tentativas falham; como são independentes, essa probabilidade é
. Portanto:
Esse método evita somar 7 termos da binomial e reduz erro de conta na prova.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
Aqui e
, então
. Substituindo na fórmula:
Aqui
Passo 5
Cálculo detalhado de
(passo a passo sem calculadora):
Calculando
:
,
,
,
,
,
,
. Logo
Passo 6
Subtraindo de 1 para obter a probabilidade desejada:
Interpretação rápida: é praticamente certeza — com
de chance por componente, em 7 componentes a chance de nenhum resistir é extremamente pequena, então a chance de pelo menos um resistir é muito alta.