Em uma linha de produção, a probabilidade de cada componente resista a um teste de impacto e 80 %, independentemente dos demais. Sto selecionados aleatoriamente 7 componentes.
Qual a probabilidade de que pelo menos um componente resista ao teste de impacto?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que pelo menos um componente resista ao teste de impacto?” Dados fornecidos (aleatoriamente e independentemente):
\begin{aligned} &\text{Número de componentes selecionados: } n=7\\\ &\text{Probabilidade de um componente resistir: } p=0,8 \end{aligned}ú
Portanto queremos calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos um sucesso (resistência) em n=7 tentativas independentes com probabilidade p=0,8 em cada tentativa.

Passo 2

Modelagem e fórmula geral (explicação didática):
Cada componente é uma experiência com dois resultados possíveis: “resiste” (sucesso) com probabilidade p e “não resiste” (fracasso) com probabilidade 1-p. Quando temos várias experiências independentes iguais, o número de sucessos segue a distribuição binomial. A probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é dada por
\Pr(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta de quantas formas escolhemos quais k tentativas deram sucesso entre as n. Aqui, no entanto, não precisamos somar todas as probabilidades de k=1 até k=7 — há um truque prático.

Passo 3

Regra do complementar (por que é mais simples):
A probabilidade de “pelo menos um sucesso” é complementar da probabilidade de “nenhum sucesso”. Ou seja,
\Pr(\text{pelo menos 1}) = 1 - \Pr(\text{nenhum}).
Isso é mais simples porque calcular “nenhum” significa que todas as n tentativas falham; como são independentes, essa probabilidade é (1-p)^n. Portanto:
\Pr(\text{pelo menos 1}) = 1 - (1-p)^n.
Esse método evita somar 7 termos da binomial e reduz erro de conta na prova.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso:
Aqui p=0,8 e n=7, então 1-p=0,2. Substituindo na fórmula:
\Pr(\text{pelo menos 1}) = 1 - (0,2)^{7}.

Passo 5

Cálculo detalhado de (0,2)^{7} (passo a passo sem calculadora):
(0,2)^{7} = \left(\frac{2}{10}\right)^{7} = \frac{2^{7}}{10^{7}}.
Calculando 2^{7}: 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128. Logo
(0,2)^{7} = \frac{128}{10\,000\,000} = 0,0000128.

Passo 6

Subtraindo de 1 para obter a probabilidade desejada:
\Pr(\text{pelo menos 1}) = 1 - 0,0000128 = 0,9999872.
Interpretação rápida: é praticamente certeza — com 80\% de chance por componente, em 7 componentes a chance de nenhum resistir é extremamente pequena, então a chance de pelo menos um resistir é muito alta.

Resposta

1-(0,2)^{7}
0,9999872

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