Em uma linha de produção, a probabilidade de cada componente resista a um teste de impacto e 80 %, independentemente dos demais. Sto selecionados aleatoriamente 7 componentes.
Qual a probabilidade de que exatamente 4 componentes resistam ao teste de impacto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Foram selecionados aleatoriamente 7 componentes.
  • A probabilidade de cada componente resistir ao teste de impacto é 80\%. Vou escrever isso como p=0,8.
  • Os componentes são independentes (o resultado de um não afeta os outros).
    Pergunta do enunciado: Qual a probabilidade de que exatamente 4 componentes resistam ao teste de impacto?

Passo 2

Defino a variável aleatória X como o número de componentes que resistem, entre os 7 selecionados. Queremos calcular \mathbb{P}(X=4).
Por independência, a probabilidade de uma sequência específica com exatamente 4 resistências (sucessos) e 3 falhas é
p^{4}\,(1-p)^{3}.
Explicando devagar: se, por exemplo, os quatro primeiros resistem e os três últimos não, a probabilidade desse evento específico é \underbrace{p\cdot p\cdot p\cdot p}_{4\\ \text{vezes}}\cdot\underbrace{(1-p)\cdot(1-p)\cdot(1-p)}_{3\\ \text{vezes}}=p^{4}(1-p)^{3}.

Passo 3

Mas há muitas sequências diferentes que têm exatamente 4 resistências (por exemplo, resistem nas posições \{1,2,3,4\}, ou \{1,2,3,5\}, etc.). Precisamos contar quantas sequências distintas (ordens) têm exatamente 4 sucessos entre 7 ensaios.
O número de maneiras é dado pelo coeficiente binomial
\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!\,3!}.
Calculemos isso explicitamente: 7!=7\cdot6\cdot5\cdot4!, então
\binom{7}{4}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=\frac{210}{6}=35.

Passo 4

Portanto a fórmula para a probabilidade pedida é
\mathbb{P}(X=4)=\binom{7}{4}\,p^{4}\,(1-p)^{3}.
Substituindo p=0,8 obtemos
\mathbb{P}(X=4)=35\cdot(0,8)^{4}\cdot(0,2)^{3}.

Passo 5

Calculemos passo a passo as potências:
(0,8)^{4}=\left(\frac{8}{10}\right)^{4}=\frac{8^{4}}{10^{4}}=\frac{4096}{10000}=0,4096.

Passo 6

E
(0,2)^{3}=\left(\frac{2}{10}\right)^{3}=\frac{2^{3}}{10^{3}}=\frac{8}{1000}=0,008.

Passo 7

Multiplicando as duas potências:
(0,8)^{4}\cdot(0,2)^{3}=0,4096\cdot 0,008.
Como fração: \dfrac{4096}{10000}\cdot\dfrac{8}{1000}=\dfrac{32768}{10\,000\,000}=0,0032768.

Passo 8

Agora multiplico pelo coeficiente binomial 35:
35\cdot 0,0032768 = 0,114688.
Mostrando como fração: \dfrac{32768}{10\,000\,000}\cdot 35=\dfrac{1\,146\,880}{10\,000\,000}=0,114688.

Passo 9

Interpretação final: a probabilidade de exatamente 4 componentes resistirem é 0,114688, que é aproximadamente 11,4688\%. Se precisar arredondar para, por exemplo, três casas decimais, fica 0,115 (ou 11,5\%).

Resposta

0,114688 (aproximadamente 11,4688\%)

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