Em uma linha de produção, a probabilidade de cada componente resista a um teste de impacto e 80 %, independentemente dos demais. Sto selecionados aleatoriamente 7 componentes.
Qual a probabilidade de que exatamente 4 componentes resistam ao teste de impacto?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Foram selecionados aleatoriamente 7 componentes.
A probabilidade de cada componente resistir ao teste de impacto é 80\%. Vou escrever isso como p=0,8.
Os componentes são independentes (o resultado de um não afeta os outros).
Pergunta do enunciado: Qual a probabilidade de que exatamente 4 componentes resistam ao teste de impacto?
Passo 2
Defino a variável aleatória X como o número de componentes que resistem, entre os 7 selecionados. Queremos calcular \mathbb{P}(X=4).
Por independência, a probabilidade de uma sequência específica com exatamente 4 resistências (sucessos) e 3 falhas é
p^{4}\,(1-p)^{3}.
Explicando devagar: se, por exemplo, os quatro primeiros resistem e os três últimos não, a probabilidade desse evento específico é \underbrace{p\cdot p\cdot p\cdot p}_{4\\ \text{vezes}}\cdot\underbrace{(1-p)\cdot(1-p)\cdot(1-p)}_{3\\ \text{vezes}}=p^{4}(1-p)^{3}.
Passo 3
Mas há muitas sequências diferentes que têm exatamente 4 resistências (por exemplo, resistem nas posições \{1,2,3,4\}, ou \{1,2,3,5\}, etc.). Precisamos contar quantas sequências distintas (ordens) têm exatamente 4 sucessos entre 7 ensaios.
O número de maneiras é dado pelo coeficiente binomial
\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!\,3!}.
Calculemos isso explicitamente: 7!=7\cdot6\cdot5\cdot4!, então
Como fração: \dfrac{4096}{10000}\cdot\dfrac{8}{1000}=\dfrac{32768}{10\,000\,000}=0,0032768.
Passo 8
Agora multiplico pelo coeficiente binomial 35:
35\cdot 0,0032768 = 0,114688.
Mostrando como fração: \dfrac{32768}{10\,000\,000}\cdot 35=\dfrac{1\,146\,880}{10\,000\,000}=0,114688.
Passo 9
Interpretação final: a probabilidade de exatamente 4 componentes resistirem é 0,114688, que é aproximadamente 11,4688\%. Se precisar arredondar para, por exemplo, três casas decimais, fica 0,115 (ou 11,5\%).