Considere a experimenta binomial com 10 ensaios e probabilidade de sucesso de 40% em cada ensaio. A varistel aleatória binomial
representa número de sucessos.
a. Qual o valor esperado de
?
b. Qual a variância de
?
a. Qual o valor esperado de
b. Qual a variância de
Passo 1
O enunciado diz: temos uma experiência binomial com
ensaios e probabilidade de sucesso de
em cada ensaio. A variável aleatória
representa o número de sucessos. As perguntas são:
- (a) Qual o valor esperado de
? - (b) Qual a variância de
?
Informações dadas:
Passo 2
O que significa “valor esperado” e “variância” de
? Vou explicar de um jeito prático e direto:
- O valor esperado
é a média teórica de : se repetíssemos o experimento muitas vezes, a média dos observados tende a . - A variância
mede a dispersão: quanto os valores de costumam variar em torno da média.
Para a binomial existe uma fórmula simples para cada um desses números. Antes de usar a fórmula, é útil ver de onde ela vem (intuição e derivação curta).
Passo 3
Intuição e derivação do valor esperado. Pense em
como soma de
indicadores (Bernoullis):
onde cada
vale
se o
-ésimo ensaio é sucesso e
caso contrário. Cada
tem esperança
porque é uma variável de Bernoulli com probabilidade
de ser
.
Usamos a propriedade linearidade da esperança: a esperança da soma é a soma das esperanças. Então
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
e
:
Interpretação rápida: em média esperamos
sucessos em
ensaios quando a probabilidade de sucesso é
. Vai ficar mais fácil na prova lembrar que é só multiplicar
por
.
Passo 5
Derivação da variância. Como antes, escrevemos
como soma de indicadores independentes
. Para variância de soma de variáveis independentes vale:
A variância de uma Bernoulli
com parâmetro
é
Portanto
Passo 6
Aplicando a fórmula da variância no nosso caso:
Uma interpretação: a dispersão ao redor da média é
. Se quiser a raiz da variância (desvio padrão), é
, mas a pergunta pedia a variância.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (opcional, bem curtinho): se
(Bernoulli simples) com
, então
e
. Viu como as fórmulas são diretas e fáceis de aplicar na prova?