(\mathrm{U}, \mathrm{o}) Considere a experimenta binomial com 10 ensaios e probabilidade de sucesso de 40% em cada ensaio. A varistel aleatória binomial X representa número de sucessos.
a. Qual o valor esperado de X ?
b. Qual a variância de X ?

Passo 1

O enunciado diz: temos uma experiência binomial com 10 ensaios e probabilidade de sucesso de 40\% em cada ensaio. A variável aleatória X representa o número de sucessos. As perguntas são:
  • (a) Qual o valor esperado de X?
  • (b) Qual a variância de X?
Informações dadas:
n = 10,\qquad p = 40\% = 0,4,\qquad X \text{ é o número de sucessos em } n \text{ ensaios.}éú

Passo 2

O que significa “valor esperado” e “variância” de X? Vou explicar de um jeito prático e direto:
  • O valor esperado E[X] é a média teórica de X: se repetíssemos o experimento muitas vezes, a média dos X observados tende a E[X].
  • A variância \operatorname{Var}(X) mede a dispersão: quanto os valores de X costumam variar em torno da média.
Para a binomial existe uma fórmula simples para cada um desses números. Antes de usar a fórmula, é útil ver de onde ela vem (intuição e derivação curta).

Passo 3

Intuição e derivação do valor esperado. Pense em X como soma de n indicadores (Bernoullis):
X = Y_1 + Y_2 + \dots + Y_n,
onde cada Y_i vale 1 se o i-ésimo ensaio é sucesso e 0 caso contrário. Cada Y_i tem esperança E[Y_i]=p porque é uma variável de Bernoulli com probabilidade p de ser 1.
Usamos a propriedade linearidade da esperança: a esperança da soma é a soma das esperanças. Então
E[X] = E\!\left[\sum_{i=1}^n Y_i\right] = \sum_{i=1}^n E[Y_i] = \sum_{i=1}^n p = n p.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com n=10 e p=0,4:
E[X] = n p = 10 \times 0,4 = 4.
Interpretação rápida: em média esperamos 4 sucessos em 10 ensaios quando a probabilidade de sucesso é 40\%. Vai ficar mais fácil na prova lembrar que é só multiplicar n por p.

Passo 5

Derivação da variância. Como antes, escrevemos X como soma de indicadores independentes Y_i. Para variância de soma de variáveis independentes vale:
\operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n Y_i\right) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(Y_i).
A variância de uma Bernoulli Y_i com parâmetro p é
\operatorname{Var}(Y_i) = p(1-p).
Portanto
\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p(1-p) = n p(1-p).

Passo 6

Aplicando a fórmula da variância no nosso caso:
\operatorname{Var}(X) = n p(1-p) = 10 \times 0,4 \times (1-0,4) = 10 \times 0,4 \times 0,6 = 2,4.
Uma interpretação: a dispersão ao redor da média é 2,4. Se quiser a raiz da variância (desvio padrão), é \sqrt{2,4}\approx 1,549, mas a pergunta pedia a variância.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (opcional, bem curtinho): se n=1 (Bernoulli simples) com p=0,4, então E[X]=0,4 e \operatorname{Var}(X)=0,4\cdot0,6=0,24. Viu como as fórmulas são diretas e fáceis de aplicar na prova?

Resposta

E[X]=4
\operatorname{Var}(X)=2,4

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