Em , um estúdio de gravação, há dois microfones instalados para captar o som ambiente: um próximo à bateria e outro próximo aos amplificadores de guitarra. Se um músico toca uma nota alta na guitarra, a probabilidade de que a microfone próximo aos amplificadores capte o som è 0.80 . Jå a probabilidade de que o microfone próximo à bateria também capte esse som é
. Os dols microfones operam de forma independente na detecção do som.
Qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones?
Qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
- Probabilidade de que o microfone perto dos amplificadores capte a nota:
. - Probabilidade de que o microfone perto da bateria capte a nota:
. - Os dois microfones são independentes na detecção do som.
- Pergunta: qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones? Ou seja, queremos
.
Passo 2
Entendendo os eventos e o que significa “pelo menos um”.
- Defina os eventos:
- “Pelo menos um capta” é o evento união
: ocorre se ou (ou ambos) acontecerem. - Em geral, para dois eventos qualquer, vale a fórmula de união:
Aqui precisamos cuidar do termo (a probabilidade dos dois captarem), que representa a sobreposição entre e .
Passo 3
Uso da independência para simplificar
.
- A independência significa que saber que um microfone captou não altera a probabilidade do outro captar. Matemáticamente:
- Então podemos aplicar a fórmula do passo anterior com
.
Passo 4
Método alternativo (complemento) — por que é mais rápido e didático.
- É frequentemente mais simples usar o complemento: “pelo menos um capta” é o complementar de “nenhum capta”.
- Defina o evento
= “nenhum dos dois capta”. Então - Se os microfones são independentes, a probabilidade de nenhum captar é o produto das probabilidades de cada um não captar:
- Esse método evita calcular diretamente a interseção e costuma ser mais rápido em prova.
Passo 5
Calcule
, a probabilidade de nenhum microfone captar.
- Usando os valores dados:
e . - Então
- Calculando passo a passo:
Passo 6
Calcule a probabilidade de “pelo menos um capta” e interprete o resultado.
- Usando o complemento:
- Em porcentagem, isso é
. - Também podemos escrever como fração:
.