Em , um estúdio de gravação, há dois microfones instalados para captar o som ambiente: um próximo à bateria e outro próximo aos amplificadores de guitarra. Se um músico toca uma nota alta na guitarra, a probabilidade de que a microfone próximo aos amplificadores capte o som è 0.80 . Jå a probabilidade de que o microfone próximo à bateria também capte esse som é \mathbf{0 . 6 0}. Os dols microfones operam de forma independente na detecção do som.
Qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Probabilidade de que o microfone perto dos amplificadores capte a nota: p_{\text{amp}} = 0,80.
  • Probabilidade de que o microfone perto da bateria capte a nota: p_{\text{bateria}} = 0,60.
  • Os dois microfones são independentes na detecção do som.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones? Ou seja, queremos P(\text{pelo menos um capta}).

Passo 2

Entendendo os eventos e o que significa “pelo menos um”.
  • Defina os eventos: A = \text{o microfone dos amplificadores capta o som},
B = \text{o microfone da bateria capta o som}.
  • “Pelo menos um capta” é o evento união A\cup B: ocorre se A ou B (ou ambos) acontecerem.
  • Em geral, para dois eventos qualquer, vale a fórmula de união: P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).Aqui precisamos cuidar do termo P(A\cap B) (a probabilidade dos dois captarem), que representa a sobreposição entre A e B.

Passo 3

Uso da independência para simplificar P(A\cap B).
  • A independência significa que saber que um microfone captou não altera a probabilidade do outro captar. Matemáticamente: P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).
  • Então podemos aplicar a fórmula do passo anterior com P(A\cap B)=P(A)P(B).

Passo 4

Método alternativo (complemento) — por que é mais rápido e didático.
  • É frequentemente mais simples usar o complemento: “pelo menos um capta” é o complementar de “nenhum capta”.
  • Defina o evento N = “nenhum dos dois capta”. Então P(A\cup B)=1-P(N).
  • Se os microfones são independentes, a probabilidade de nenhum captar é o produto das probabilidades de cada um não captar: P(N) = (1-P(A))\cdot(1-P(B)).
  • Esse método evita calcular diretamente a interseção e costuma ser mais rápido em prova.

Passo 5

Calcule P(N), a probabilidade de nenhum microfone captar.
  • Usando os valores dados: P(A)=p_{\text{amp}}=0,80 e P(B)=p_{\text{bateria}}=0,60.
  • Então P(N)=(1-0,80)\cdot(1-0,60).
  • Calculando passo a passo: 1-0,80=0,20,
1-0,60=0,40,
P(N)=0,20\cdot 0,40=0,08.

Passo 6

Calcule a probabilidade de “pelo menos um capta” e interprete o resultado.
  • Usando o complemento: P(A\cup B)=1-P(N)=1-0,08=0,92.
  • Em porcentagem, isso é 92\%.
  • Também podemos escrever como fração: 0,92=\dfrac{23}{25}.

Resposta

0,92 (92%)

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