Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de qualidade das peças produzidas. Assuma que a probabilidade de uma peça produzida ser defeituosa é 0,01 .
(a) Tendo em vista o alto padrão requerido, um engenheiro planeja o seguinte experimento: Peças serāo selecionadas de forma independente da linha de produção e a produçāo é interrompida para regulagem assim que a primeira peça defeituosa for observada. Qual é a probabilidade de que a produção seja interrompida ao observar-se 10 peças?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a produção seja interrompida exatamente quando se observa a décima peça. Informações dadas: a probabilidade de uma peça ser defeituosa é p=0,01 e as peças são selecionadas de forma independente. A pergunta é: qual é a probabilidade de que a primeira peça defeituosa apareça justamente na 10-ª peça?

Passo 2

Modelagem e ideia básica (passo a passo didático): para que a primeira peça defeituosa ocorra na 10-ª peça, é necessário que as primeiras 9 peças estejam boas (não defeituosas) e que a 10-ª seja defeituosa. Como as peças são independentes, a probabilidade conjunta é o produto da probabilidade de cada evento ocorrer uma sequência. Se p é a probabilidade de defeito, então a probabilidade de uma peça ser não defeituosa é 1-p. Assim, a probabilidade pedida é
P(\text{primeiro defeito na 10ª}) = (1-p)^{9}\,p.ª
Explicando a fórmula: (1-p)^{9} representa a chance de ter 9 peças seguidas sem defeito; depois multiplicamos por p porque a décima peça deve ser defeituosa.

Passo 3

Substituindo o valor numérico p=0,01 na fórmula do passo anterior:
P = (1-0,01)^{9}\cdot 0,01 = (0,99)^{9}\cdot 0,01.

Passo 4

Calculemos (0,99)^{9} passo a passo (multiplicação repetida, para você poder replicar na prova sem calculadora aproximando sucessivamente):
\begin{aligned} 0,99^{2} &= 0,9801,\\\\ 0,99^{3} &= 0,970299,\\\\ 0,99^{4} &= 0,96059601,\\\\ 0,99^{5} &= 0,9509900499,\\\\ 0,99^{6} &= 0,941480149401,\\\\ 0,99^{7} &= 0,93206534790699,\\\\ 0,99^{8} &= 0,9227446944279201,\\\\ 0,99^{9} &= 0,9135172474836409\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Agora multiplicamos por 0,01:
P = 0,9135172474836409 \times 0,01 \approx 0,009135172474836409.

Passo 5

Interpretação e forma prática: a probabilidade é cerca de 0,009135, ou seja aproximadamente 0{,}9135\%. Em palavras: há menos de 1\% de chance de que a primeira peça defeituosa apareça exatamente na décima peça — faz sentido porque defeitos são raros ( 1\%) e esperar até a décima peça sem defeitos tem probabilidade moderada.

Resposta

(0,99)^{9}\cdot 0,01 \approx 0,00913517

Exercícios relacionados