Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de qualidade das peças produzidas. Assuma que a probabilidade de uma peça produzida ser defeituosa é 0,01 .
(a) Tendo em vista o alto padrão requerido, um engenheiro planeja o seguinte experimento: Peças serāo selecionadas de forma independente da linha de produção e a produçāo é interrompida para regulagem assim que a primeira peça defeituosa for observada. Qual é a probabilidade de que a produção seja interrompida ao observar-se 10 peças?
(a) Tendo em vista o alto padrão requerido, um engenheiro planeja o seguinte experimento: Peças serāo selecionadas de forma independente da linha de produção e a produçāo é interrompida para regulagem assim que a primeira peça defeituosa for observada. Qual é a probabilidade de que a produção seja interrompida ao observar-se 10 peças?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a produção seja interrompida exatamente quando se observa a décima peça. Informações dadas: a probabilidade de uma peça ser defeituosa é
e as peças são selecionadas de forma independente. A pergunta é: qual é a probabilidade de que a primeira peça defeituosa apareça justamente na
-ª peça?
Passo 2
Modelagem e ideia básica (passo a passo didático): para que a primeira peça defeituosa ocorra na
-ª peça, é necessário que as primeiras
peças estejam boas (não defeituosas) e que a
-ª seja defeituosa. Como as peças são independentes, a probabilidade conjunta é o produto da probabilidade de cada evento ocorrer uma sequência. Se
é a probabilidade de defeito, então a probabilidade de uma peça ser não defeituosa é
. Assim, a probabilidade pedida é
Explicando a fórmula:
representa a chance de ter 9 peças seguidas sem defeito; depois multiplicamos por
porque a décima peça deve ser defeituosa.
Passo 3
Substituindo o valor numérico
na fórmula do passo anterior:
Passo 4
Calculemos
passo a passo (multiplicação repetida, para você poder replicar na prova sem calculadora aproximando sucessivamente):
Agora multiplicamos por
:
Passo 5
Interpretação e forma prática: a probabilidade é cerca de
, ou seja aproximadamente
. Em palavras: há menos de
de chance de que a primeira peça defeituosa apareça exatamente na décima peça — faz sentido porque defeitos são raros (
) e esperar até a décima peça sem defeitos tem probabilidade moderada.