Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de qualidade das peças produzidas. Assuma que a probabilidade de uma peça produzida ser defeituosa é 0,01 .
(b) Numa outra fábrica em que as peças são produzidas com mesma qualidade, o engenheiro planeja o seguinte experimento: Peças serão selecionadas de forma independente da linha de produção e a produçāo é interrompida para regulagem assim que 3 peças defeituosas forem observadas. Qual é a probabilidade de que a produçāo seja interrompida ao observar-se 10 peças?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (resumindo e deixando claro o pedido):
  • A probabilidade de uma peça ser defeituosa é \,p=0,01.
  • As peças são selecionadas de forma independente.
  • A produção é interrompida assim que forem observadas 3 peças defeituosas.
  • Pergunta: Qual é a probabilidade de que a produção seja interrompida ao observar-se 10 peças?

Passo 2

Raciocínio sobre o que significa “interromper ao observar-se 10 peças” (passo conceitual importante):
  • Para que a produção seja interrompida exatamente ao observar a 10-ª peça, a 10-ª peça precisa ser a terceira defeituosa (ou seja, o terceiro “sucesso” se chamarmos “defeito” de sucesso).
  • Isso implica que, entre as primeiras 9 peças, houve exatamente 2 defeituosas, e a peça 10 é defeituosa.
  • O número de maneiras de escolher quais 2 entre as primeiras 9 são defeituosas é dado por \binom{9}{2} (combinatório).
  • A probabilidade de um arranjo específico com exatamente 2 defeituosas nas primeiras 9 e uma defeituosa na décima é p^{3}(1-p)^{7}, porque temos 3 defeituosas ( p^3) e 7 não-defeituosas ( (1-p)^7).
  • Portanto a fórmula geral que vamos usar é:
\Pr(\text{3ª defeituosa na peça }10)=\binom{9}{2}\,p^{3}(1-p)^{7}.ªç

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
  • Calculamos o combinatório:
\binom{9}{2}=36.
  • Substituímos p=\,0,01 e 1-p=0,99 na fórmula:
\Pr = 36\cdot (0,01)^{3}\cdot (0,99)^{7}.

Passo 4

Cálculo passo a passo dos fatores numéricos (para você poder refazer à mão na prova):
  • Primeiro o termo de potências pequenas:
(0,01)^{3}=0,01\cdot 0,01\cdot 0,01=0,000001.
  • Agora 0,99^{7}. Calculando sequencialmente (mostrando os passos para treinar a conta manual):
0,99^{2}=0,9801,
0,99^{3}=0,970299,
0,99^{4}=0,96059601,
0,99^{5}=0,9509900499,
0,99^{6}=0,941480149401,
0,99^{7}=0,93206534740699\approx 0,932065347.
  • Agora multiplicamos tudo:
\Pr = 36\cdot 0,000001\cdot 0,932065347.
  • Multiplicando 36\cdot 0,000001=0,000036. Então
\Pr = 0,000036\cdot 0,932065347 \approx 0,0000335543525.
  • Arredondando de forma razoável (3 ou 4 algarismos significativos) obtemos aproximadamente 0,00003355. É um valor bem pequeno — faz sentido: com probabilidade de defeito tão baixa ( 1\%), é raro chegar ao terceiro defeito já na décima peça.

Passo 5

Resumo final do procedimento (curto e prático, para fixar a ideia na cabeça):
  • Modelo usado: probabilidade do r-ésimo sucesso ocorrer no ensaio n é \binom{n-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{n-r}.
  • Aqui r=3, n=10, p=0,01.
  • Aplicando a fórmula e calculando cuidadosamente chegamos ao valor numérico acima.

Resposta

\;0,0000335543525

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