Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de qualidade das peças produzidas. Assuma que a probabilidade de uma peça produzida ser defeituosa é 0,01 .
(b) Numa outra fábrica em que as peças são produzidas com mesma qualidade, o engenheiro planeja o seguinte experimento: Peças serão selecionadas de forma independente da linha de produção e a produçāo é interrompida para regulagem assim que 3 peças defeituosas forem observadas. Qual é a probabilidade de que a produçāo seja interrompida ao observar-se 10 peças?
(b) Numa outra fábrica em que as peças são produzidas com mesma qualidade, o engenheiro planeja o seguinte experimento: Peças serão selecionadas de forma independente da linha de produção e a produçāo é interrompida para regulagem assim que 3 peças defeituosas forem observadas. Qual é a probabilidade de que a produçāo seja interrompida ao observar-se 10 peças?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (resumindo e deixando claro o pedido):
- A probabilidade de uma peça ser defeituosa é
. - As peças são selecionadas de forma independente.
- A produção é interrompida assim que forem observadas
peças defeituosas. - Pergunta: Qual é a probabilidade de que a produção seja interrompida ao observar-se
peças?
Passo 2
Raciocínio sobre o que significa “interromper ao observar-se
peças” (passo conceitual importante):
- Para que a produção seja interrompida exatamente ao observar a
-ª peça, a -ª peça precisa ser a terceira defeituosa (ou seja, o terceiro “sucesso” se chamarmos “defeito” de sucesso). - Isso implica que, entre as primeiras
peças, houve exatamente defeituosas, e a peça é defeituosa. - O número de maneiras de escolher quais
entre as primeiras são defeituosas é dado por (combinatório). - A probabilidade de um arranjo específico com exatamente
defeituosas nas primeiras e uma defeituosa na décima é , porque temos defeituosas ( ) e não-defeituosas ( ). - Portanto a fórmula geral que vamos usar é:
Passo 3
Substituindo os valores numéricos:
- Calculamos o combinatório:
- Substituímos
e na fórmula:
Passo 4
Cálculo passo a passo dos fatores numéricos (para você poder refazer à mão na prova):
- Primeiro o termo de potências pequenas:
- Agora
. Calculando sequencialmente (mostrando os passos para treinar a conta manual):
- Agora multiplicamos tudo:
- Multiplicando
. Então
- Arredondando de forma razoável (3 ou 4 algarismos significativos) obtemos aproximadamente
. É um valor bem pequeno — faz sentido: com probabilidade de defeito tão baixa ( ), é raro chegar ao terceiro defeito já na décima peça.
Passo 5
Resumo final do procedimento (curto e prático, para fixar a ideia na cabeça):
- Modelo usado: probabilidade do
-ésimo sucesso ocorrer no ensaio é . - Aqui
, , . - Aplicando a fórmula e calculando cuidadosamente chegamos ao valor numérico acima.