Suponha que os terremotos ocorram na porção ocidental dos Estados Unidos de acordo com com suposições da distribuição Poisson com taxa de \lambda=2 terremotos por semana.
(b) Encontre a probabilidade de que pelo menos 3 terremotos ocorram durante o próximo mês.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: os terremotos ocorrem segundo um processo de Poisson com taxa \lambda=2 terremotos por semana.
  • Pedido: encontre a probabilidade de que pelo menos 3 terremotos ocorram durante o próximo mês.
Observação importante (assunção que vou usar): vou interpretar “próximo mês” como um intervalo de 4 semanas (esta é a suposição usual em exercícios elementares quando a taxa é dada por semana). Com isso, a taxa média no mês será a taxa semanal multiplicada pelo número de semanas do mês.

Passo 2

Relembrando o que é a distribuição de Poisson e sua fórmula (aula rápida): a distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo quando esses eventos são raros, independentes e com taxa média constante. Se X tem Poisson com parâmetro \lambda (média no intervalo), então a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é dada por
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots),
  • \lambda é a média esperada de eventos no intervalo considerado,
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).
Aqui, antes de aplicar a fórmula precisamos calcular o parâmetro \lambda para o intervalo “um mês”.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda para o mês. Como a taxa é \lambda_{\text{semana}}=2 terremotos/semana e estamos assumindo que o mês tem 4 semanas, a média no mês é
\lambda_{\text{mês}} = 2 \times 4 = 8.ê
Portanto, o número de terremotos no mês segue uma Poisson com parâmetro \lambda=8.

Passo 4

Queremos P(X\ge 3), a probabilidade de pelo menos 3 terremotos. É mais fácil usar o complementar:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).
Agora aplicamos a fórmula da Poisson com \lambda=8 para cada termo.

Passo 5

Calcular P(X=0), P(X=1) e P(X=2) com \lambda=8:
  • Para k=0:
P(X=0)=e^{-8}\frac{8^{0}}{0!}=e^{-8}.
  • Para k=1:
P(X=1)=e^{-8}\frac{8^{1}}{1!}=8e^{-8}.
  • Para k=2:
P(X=2)=e^{-8}\frac{8^{2}}{2!}=e^{-8}\frac{64}{2}=32e^{-8}.
Somando:
P(X\le 2)=e^{-8}+8e^{-8}+32e^{-8}=41e^{-8}.
Logo
P(X\ge 3)=1-41e^{-8}.

Passo 6

Cálculo numérico (aproximação): e^{-8}\approx 0{,}0003354626. Multiplicando por 41 obtemos 41e^{-8}\approx 0{,}013767. Portanto
P(X\ge 3)\approx 1-0{,}013767=0{,}986233.
Arredondando, dá aproximadamente 0{,}9862. Se você preferir deixar a resposta exata para a prova sem calculadora, escreva 1-41e^{-8}.

Resposta

1-41e^{-8}\approx 0{,}9862

Exercícios relacionados