Suponha que os terremotos ocorram na porção ocidental dos Estados Unidos de acordo com com suposições da distribuição Poisson com taxa de
terremotos por semana.
(b) Encontre a probabilidade de que pelo menos 3 terremotos ocorram durante o próximo mês.
(b) Encontre a probabilidade de que pelo menos 3 terremotos ocorram durante o próximo mês.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: os terremotos ocorrem segundo um processo de Poisson com taxa
terremotos por semana. - Pedido: encontre a probabilidade de que pelo menos 3 terremotos ocorram durante o próximo mês.
Observação importante (assunção que vou usar): vou interpretar “próximo mês” como um intervalo de
semanas (esta é a suposição usual em exercícios elementares quando a taxa é dada por semana). Com isso, a taxa média no mês será a taxa semanal multiplicada pelo número de semanas do mês.
Passo 2
Relembrando o que é a distribuição de Poisson e sua fórmula (aula rápida): a distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo quando esses eventos são raros, independentes e com taxa média constante. Se
tem Poisson com parâmetro
(média no intervalo), então a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos é dada por
onde:
-
é um número inteiro não negativo ( ), -
é a média esperada de eventos no intervalo considerado, -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Aqui, antes de aplicar a fórmula precisamos calcular o parâmetro
para o intervalo “um mês”.
Passo 3
Calcular o parâmetro
para o mês. Como a taxa é
terremotos/semana e estamos assumindo que o mês tem
semanas, a média no mês é
Portanto, o número de terremotos no mês segue uma Poisson com parâmetro
.
Passo 4
Queremos
, a probabilidade de pelo menos
terremotos. É mais fácil usar o complementar:
Agora aplicamos a fórmula da Poisson com
para cada termo.
Passo 5
Calcular
,
e
com
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando:
Logo
Passo 6
Cálculo numérico (aproximação):
. Multiplicando por
obtemos
. Portanto
Arredondando, dá aproximadamente
. Se você preferir deixar a resposta exata para a prova sem calculadora, escreva
.