Suponha que os terremotos ocorram na porção ocidental dos Estados Unidos de acordo com com suposições da distribuição Poisson com taxa de \lambda=2 terremotos por semana.
(a) Encontre a probabilidade de que pelo menos 3 terremotos ocorram durante as próximas 2 semanas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Taxa de terremotos por semana: \lambda=2 (isto é, em média 2 terremotos por semana).
  • Intervalo de interesse: próximas 2 semanas.
  • Pergunta: encontrar a probabilidade de que pelo menos 3 terremotos ocorram durante essas 2 semanas, ou seja, encontrar \mathbb{P}(N\ge 3), onde N é o número de terremotos nas próximas 2 semanas.

Passo 2

Vamos usar a propriedade básica do processo de Poisson (aqui apenas a fórmula que precisamos; não se preocupe com derivação técnica): o número de ocorrências em um intervalo de duração t segue uma distribuição de Poisson com parâmetro igual à taxa vezes o tempo. Escrevendo isso em fórmula, se a taxa é \lambda por unidade de tempo e o tempo é t, então o número N tem distribuição
\mathbb{P}(N=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!},
onde \mu=\lambda t é o valor esperado (média) no intervalo considerado, e k é qualquer número inteiro não negativo. Aqui:
  • \lambda é a taxa dada ( \lambda=2 terremotos/semana),
  • t é o tempo que vamos olhar ( t=2 semanas),
  • \mu=\lambda t é o parâmetro da Poisson para esse intervalo.

Passo 3

Calculemos o parâmetro \mu para as 2 semanas:
\mu=\lambda t = 2 \times 2 = 4.
Portanto, o número de terremotos nas próximas 2 semanas segue \mathrm{Poisson}(\mu=4).

Passo 4

Queremos \mathbb{P}(N\ge 3). É mais simples usar o complementar:
\mathbb{P}(N\ge 3)=1-\mathbb{P}(N\le 2).
Isso evita somar infinitos termos; basta somar só k=0,1,2.

Passo 5

Calculemos \mathbb{P}(N=k) para k=0,1,2 usando a fórmula da Poisson com \mu=4.
  • Para k=0:
\mathbb{P}(N=0)=e^{-4}\frac{4^{0}}{0!}=e^{-4}.
  • Para k=1:
\mathbb{P}(N=1)=e^{-4}\frac{4^{1}}{1!}=4e^{-4}.
  • Para k=2:
\mathbb{P}(N=2)=e^{-4}\frac{4^{2}}{2!}=e^{-4}\frac{16}{2}=8e^{-4}.

Passo 6

Some os três termos para obter \mathbb{P}(N\le 2):
\mathbb{P}(N\le 2)=e^{-4}+4e^{-4}+8e^{-4}=13e^{-4}.
Logo,
\mathbb{P}(N\ge 3)=1-13e^{-4}.
Isto é uma forma exata e limpa da resposta.

Passo 7

Agora vamos obter uma aproximação numérica (útil na prova se for permitido usar calculadora ou se o enunciado pedir valor numérico). Sabendo que e^{-4}\approx 0,018315, multiplicamos:
13e^{-4}\approx 13\times 0,018315.
Calcule passo a passo sem fogueira de neurônios:
13\times 0,018315 = 10\times 0,018315 + 3\times 0,018315 = 0,18315 + 0,054945 = 0,238095.
Portanto
\mathbb{P}(N\ge 3)\approx 1-0,238095 = 0,761905.

Passo 8

Interpretação rápida (só para te motivar): isso significa que há cerca de 76{,}2\% de chance de ocorrerem pelo menos 3 terremotos nas próximas 2 semanas, dado o modelo e a taxa informada. Boa! Você já tem a expressão exata e o valor aproximado para usar na prova.

Resposta

1-13e^{-4}\approx 0,761905

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