Suponha que os terremotos ocorram na porção ocidental dos Estados Unidos de acordo com com suposições da distribuição Poisson com taxa de
terremotos por semana.
(a) Encontre a probabilidade de que pelo menos 3 terremotos ocorram durante as próximas 2 semanas.
(a) Encontre a probabilidade de que pelo menos 3 terremotos ocorram durante as próximas 2 semanas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Taxa de terremotos por semana:
(isto é, em média terremotos por semana). - Intervalo de interesse: próximas
semanas. - Pergunta: encontrar a probabilidade de que pelo menos
terremotos ocorram durante essas semanas, ou seja, encontrar , onde é o número de terremotos nas próximas semanas.
Passo 2
Vamos usar a propriedade básica do processo de Poisson (aqui apenas a fórmula que precisamos; não se preocupe com derivação técnica): o número de ocorrências em um intervalo de duração
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro igual à taxa vezes o tempo. Escrevendo isso em fórmula, se a taxa é
por unidade de tempo e o tempo é
, então o número
tem distribuição
onde
é o valor esperado (média) no intervalo considerado, e
é qualquer número inteiro não negativo. Aqui:
-
é a taxa dada ( terremotos/semana), -
é o tempo que vamos olhar ( semanas), -
é o parâmetro da Poisson para esse intervalo.
Passo 3
Calculemos o parâmetro
para as
semanas:
Portanto, o número de terremotos nas próximas
semanas segue
.
Passo 4
Queremos
. É mais simples usar o complementar:
Isso evita somar infinitos termos; basta somar só
.
Passo 5
Calculemos
para
usando a fórmula da Poisson com
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Some os três termos para obter
:
Logo,
Isto é uma forma exata e limpa da resposta.
Passo 7
Agora vamos obter uma aproximação numérica (útil na prova se for permitido usar calculadora ou se o enunciado pedir valor numérico). Sabendo que
, multiplicamos:
Calcule passo a passo sem fogueira de neurônios:
Portanto
Passo 8
Interpretação rápida (só para te motivar): isso significa que há cerca de
de chance de ocorrerem pelo menos
terremotos nas próximas
semanas, dado o modelo e a taxa informada. Boa! Você já tem a expressão exata e o valor aproximado para usar na prova.