(Questão 139) Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas. A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão:
a) \frac{6!}{4!2!} \cdot \frac{15!}{10!5!}
b) \frac{6!}{4!2!}+\frac{15!}{10!5!}
c) \frac{6!}{2!}+\frac{15!}{5!}
d) \frac{6!}{2!} \cdot \frac{15!}{5!}
e) \frac{21!}{7!14!}

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas fantasias distintas (ou seja, combinações de materiais diferentes) podem ser produzidas quando cada fantasia usa exatamente 2 tipos de tecidos distintos e exatamente 5 tipos de pedras ornamentais distintas. As informações dadas são:
  • 6 tecidos diferentes disponíveis.
  • 15 pedras ornamentais distintas disponíveis.
  • Cada fantasia deve usar exatamente 2 tecidos distintos e exatamente 5 pedras distintas.
    A pergunta implícita: qual expressão representa a quantidade total de fantasias possíveis?

Passo 2

Entendendo a escolha dos tecidos: temos 6 tecidos e precisamos escolher 2 deles. Aqui a ordem não importa (escolher o tecido A e depois o B é a mesma fantasia que escolher B e depois A). Quando a ordem não importa, usamos combinações. A combinação de n elementos tomados k a k é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Neste contexto n=6 e k=2. Então o número de formas de escolher os tecidos é
\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!\,4!}.

Passo 3

Explicando por que essa fórmula funciona (mini-aula): n! (fatorial) significa o número de maneiras de ordenar n objetos diferentes; ou seja,
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 1.
Para contar combinações tiramos o número de permutações (ordenações) de n tomados k a k, que é \dfrac{n!}{(n-k)!}, e dividimos por k! porque cada combinação aparece k! vezes nas permutações (as diferentes ordens dos mesmos k elementos). Isso leva exatamente à fórmula \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 4

Calculemos \binom{6}{2} de forma explícita e fácil de fazer sem calculadora:
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15.
Mostrei a simplificação direta: \dfrac{6!}{2!4!}=\dfrac{6\cdot5}{2\cdot1}.

Passo 5

Agora a escolha das pedras ornamentais: temos 15 pedras distintas e precisamos escolher 5. Novamente a ordem não importa, então usamos
\binom{15}{5}=\frac{15!}{5!\,10!}.

Passo 6

Vamos calcular \binom{15}{5} manualmente, simplificando o fatorial:
\binom{15}{5}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificamos passo a passo:
  • 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.
  • Numerador: 15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11. Podemos simplificar dividindo por 120:
    Primeiro, observe que 15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11 = 360360. Dividindo por 120 obtemos 3003.
    Portanto
\binom{15}{5}=3003.

Passo 7

Justificando a combinação das escolhas: a escolha dos tecidos e a escolha das pedras são decisões independentes (escolher tecidos não afeta de que pedras se escolhe, além do fato de cada fantasia precisa de ambas). Quando duas escolhas independentes são feitas, multiplicamos o número de possibilidades de cada escolha para obter o total. Isto é a Regra do Produto (princípio multiplicativo).

Passo 8

Aplicando a Regra do Produto: o total de fantasias é
\binom{6}{2}\times\binom{15}{5}=\frac{6!}{2!\,4!}\cdot\frac{15!}{5!\,10!}.

Passo 9

Podemos também multiplicar os valores numéricos que já obtivemos:
15 \times 3003 = 45045.
Então existem 45045 fantasias possíveis, e a expressão correspondente é \dfrac{6!}{4!2!}\cdot\dfrac{15!}{10!5!}.

Passo 10

Verificando as alternativas: a alternativa que corresponde à expressão obtida é a alternativa (a). As outras alternativas estão erradas porque:
  • (b) soma as combinações (soma não é correta, pois são escolhas simultâneas, não alternativas mutuamente exclusivas).
  • (c) e (d) usam \dfrac{6!}{2!} e \dfrac{15!}{5!}, que são permutações (onde a ordem importa), e aqui a ordem não importa.
  • (e) representa \binom{21}{7} que não é o mesmo contexto (não é a combinação separada de 6 e 15 em 2 e 5).

Resposta

(a)

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