Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é interrompida toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade de a peça ser defeituosa, qual a probabilidade de:
c) Que pelo menos três peças sejam observadas até o 1^circ defeito?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que em cada peça a probabilidade de ser defeituosa é . A gente interrompe a produção assim que aparece o primeiro defeito. A pergunta (item c) é: “Qual a probabilidade de que sejam inspecionadas pelo menos 3 peças até aparecer o 1º defeito?”
Conteúdo: distribuição geométrica (número de ensaios até o primeiro “sucesso”, aqui o sucesso = defeito). Vamos usar a fórmula dessa distribuição e também a ideia de complementar (porque “pelo menos 3” vira “não deu defeito nas 2 primeiras”).

Passo 2

Definindo a variável aleatória P(X = k) = (1 - p)^,k-1,p = número de peças até aparecer o 1º defeito.
Para distribuição geométrica vale:
com e .

Passo 3

A gente quer P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - l[P(X=1) + P(X=2)r] . Isso significa que os dois primeiros ensaios deram “não-defeito” e daí o defeito pode vir no 3º ou depois.
Usamos a propriedade da distribuição geométrica (ou soma de uma série geométrica infinita), mas o jeito mais simples é ver como probabilidade complementar:
P(X=1) = (1-p)^0,p = p, P(X=2) = (1-p)^1,p = (1-p),p
Agora substituímos:

Passo 4

Calculando com P(X < 3) = p + (1-p),p = 0,01 + 0,99 times 0,01 = 0,01 + 0,0099 = 0,0199 :
P(X >= 3) = 1 - 0,0199 = 0,9801
Então

Resposta

A probabilidade de inspecionar pelo menos 3 peças até o primeiro defeito é .

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