1- Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de 80 \%. Um grupo de 20 pessoas, dentre uma população vacina, é submetido a testes para averiguar se a imunização foi efetivada, evento representado por I. Determine:
a. distribuição de probabilidade (DP);
b. distribuição de probabilidade acumulada (DPA);
c. média;
d. desvio padrão;
e. gráfico da DP .

Passo 1

O enunciado diz que a cada pessoa testada a probabilidade de estar imunizada é de 80\%. Como são 20 testes independentes, a variável aleatória X = “número de pessoas imunizadas” segue uma distribuição binomial com parâmetros n=20 e p=0,8. Vamos usar a fórmula da binomial, somatórios para a acumulada, e as fórmulas de esperança e desvio padrão. Finalmente esboçamos o gráfico da função de massa.

Passo 2

A distribuição de probabilidade (DP) de X é dada por
P(X = k) \;=\; \binom{20}{k}\,(0,8)^{k}\,(0,2)^{20-k}
para k = 0,1,2,\dots,20. Essa fórmula já fornece cada probabilidade de ter exatamente k imunizados.

Passo 3

A distribuição de probabilidade acumulada (DPA), ou função de distribuição F, é
F(k)\;=\;P(X \le k)\;=\;\sum_{i=0}^{k}\binom{20}{i}\,(0,8)^{i}\,(0,2)^{20-i}
para cada k\in\{0,1,\dots,20\}. Isso dá a probabilidade de ter até k imunizados.

Passo 4

Para a média (valor esperado) usam-se as propriedades da binomial:
\mu = E[X] = n\,p = 20 \times 0,8 = 16.

Passo 5

Para o desvio padrão primeiro calculamos a variância:
\sigma^2 = n\,p\,(1-p) = 20 \times 0,8 \times 0,2 = 3,2.
Logo
\sigma = \sqrt{3,2}\approx 1,78885\;\approx 1,79.

Passo 6

O gráfico da DP é um histograma de barras em que o eixo horizontal mostra k=0,1,\dots,20 e o vertical mostra P(X=k). O pico ocorre em k=16 e as barras caem rapidamente para os lados. Esboço qualitativo:
   P
   │
0,20┤            
   │               █
0,15┤              ███
   │             █████
0,10┤           ███████    ← pico em k=16
   │         █████████
0,05┤      ███████████
   │  █████████████
0,00┼─────────────────────────
     10  12  14  16  18  20   k

Resposta

a) P(X=k)=\displaystyle\binom{20}{k}(0,8)^{k}(0,2)^{20-k}, k=0,\dots,20.
b) F(k)=P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{20}{i}(0,8)^{i}(0,2)^{20-i}.
c) \mu=16.
d) \sigma=\sqrt{3,2}\approx1,79.
e) Gráfico de barras com pico em k=16 e formato de sino assimétrico, conforme esboço acima.

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