1- Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de
. Um grupo de 20 pessoas, dentre uma população vacina, é submetido a testes para averiguar se a imunização foi efetivada, evento representado por I. Determine:
a. distribuição de probabilidade (DP);
b. distribuição de probabilidade acumulada (DPA);
c. média;
d. desvio padrão;
e. gráfico da DP .
a. distribuição de probabilidade (DP);
b. distribuição de probabilidade acumulada (DPA);
c. média;
d. desvio padrão;
e. gráfico da DP .
Passo 1
O enunciado diz que a cada pessoa testada a probabilidade de estar imunizada é de
. Como são
testes independentes, a variável aleatória
= “número de pessoas imunizadas” segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. Vamos usar a fórmula da binomial, somatórios para a acumulada, e as fórmulas de esperança e desvio padrão. Finalmente esboçamos o gráfico da função de massa.
Passo 2
A distribuição de probabilidade (DP) de
é dada por
para
. Essa fórmula já fornece cada probabilidade de ter exatamente
imunizados.
Passo 3
A distribuição de probabilidade acumulada (DPA), ou função de distribuição
, é
para cada
. Isso dá a probabilidade de ter até
imunizados.
Passo 4
Para a média (valor esperado) usam-se as propriedades da binomial:
Passo 5
Para o desvio padrão primeiro calculamos a variância:
Logo
Passo 6
O gráfico da DP é um histograma de barras em que o eixo horizontal mostra
e o vertical mostra
. O pico ocorre em
e as barras caem rapidamente para os lados. Esboço qualitativo:
P
│
0,20┤
│ █
0,15┤ ███
│ █████
0,10┤ ███████ ← pico em k=16
│ █████████
0,05┤ ███████████
│ █████████████
0,00┼─────────────────────────
10 12 14 16 18 20 k
Resposta
a)
,
.
b) .
c) .
d) .
e) Gráfico de barras com pico em e formato de sino assimétrico, conforme esboço acima.
b)
c)
d)
e) Gráfico de barras com pico em