Uma linha de transmissão, com comprimento total de 1 km (ida e volta) é constituída por um fio de prata. A área da seção transversal desse fio é de 1 \mathrm{~mm}^{2}. Essa linha conecta uma carga resistiva de 100 \Omega a uma fonte de 150 V . Com base nesses valores, calcule a corrente que passa através dessa linha, a tensão na carga resistiva, a potência dissipada na carga, e a potência perdida na linha de transmissão (dissipada pela linha). Qual a eficiência total do sistema?
Adote: \rho_{A g}=1,59 \times 10^{-8} m \cdot \Omega.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede várias quantidades. Vou listar tudo de forma clara (peguei estes valores do enunciado):
  • Comprimento total da linha (ida e volta): L = 1\\ \text{km} = 1000\\ \text{m}.
  • Área da seção transversal do fio: A = 1\\ \text{mm}^2 = 1\times 10^{-6}\\ \text{m}^2.
  • Carga resistiva conectada na extremidade: R_{\text{carga}} = 100\\ \Omega.
  • Fonte de tensão: V_{\text{fonte}} = 150\\ \text{V}.
  • Resistividade da prata: \rho_{Ag} = 1,59\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}.
O que o enunciado pede:
  1. A corrente que passa pela linha (corrente do circuito).
  2. A tensão na carga resistiva (queda de tensão sobre R_{\text{carga}}).
  3. A potência dissipada na carga.
  4. A potência perdida (dissipada) na linha de transmissão.
  5. A eficiência total do sistema (fração da potência fornecida que é entregue à carga).

Passo 2

Calcular a resistência elétrica da linha de transmissão. Fórmula e explicação curta (para lembrar como usar na prova):
  • A resistência de um fio homogêneo é dada por
R=\rho\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\text{m}), L o comprimento do fio (em \text{m}) e A a área da seção (em \text{m}^2). Intuição rápida: mais comprimento aumenta resistência, maior área diminui resistência.
Aplicando aos dados (usei L=1000\\ \text{m}, A=1\times10^{-6}\\ \text{m}^2 e \rho=1,59\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}):
R_{\text{linha}}=\rho\frac{L}{A}=\left(1,59\times10^{-8}\right)\frac{1000}{1\times10^{-6}}.
Calcule:
R_{\text{linha}}=\left(1,59\times10^{-8}\right)\times 10^{9}=15,9\\ \Omega.
Interpretação: a linha de prata de 1\\ \text{mm}^2 e 1\\ \text{km} (ida e volta) tem resistência 15,9\\ \Omega.

Passo 3

Montagem do circuito e cálculo da corrente (explicando a lei usada):
  • A fonte e a carga estão conectadas por uma linha com resistência R_{\text{linha}}. Assim, a carga R_{\text{carga}} e a resistência da linha estão em série, e a corrente é a mesma em todo o circuito.
  • Lei de Ohm para circuito série: a corrente fornecida pela fonte é
I=\frac{V_{\text{fonte}}}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}}=R_{\text{carga}}+R_{\text{linha}}.
Calcule R_{\text{total}} e I:
R_{\text{total}}=100+15,9=115,9\\ \Omega,
I=\frac{150}{115,9}=\frac{1500}{1159}\approx 1,2942\\ \text{A}.
Pequena dica de prova: sempre some as resistências em série antes de aplicar I=V/R.

Passo 4

Tensão na carga (quebra de tensão na resistência da carga):
  • A queda de tensão em uma resistência é V=I\cdot R. Para a carga:
V_{\text{carga}}=I\cdot R_{\text{carga}}.
Substituindo I calculado:
V_{\text{carga}} \approx 1,2942\times 100 = 129,42\\ \text{V}.
Interpretação: parte dos 150\\ \text{V} é “gasta” na linha (queda na linha) e o resto aparece na carga.

Passo 5

Potências dissipadas (na carga e na linha) — fórmulas e cálculo:
  • Potência dissipada por uma resistência R quando passa corrente I é
P=I^{2}R.
Também vale P=V I e P=V^{2}/R; são equivalentes se usar as grandezas correspondentes.
Usando I e as resistências:
Potência na carga:
P_{\text{carga}}=I^{2}R_{\text{carga}} \approx (1,2942)^{2}\times 100 \approx 167,50\\ \text{W}.
Potência perdida na linha:
P_{\text{linha}}=I^{2}R_{\text{linha}} \approx (1,2942)^{2}\times 15,9 \approx 26,63\\ \text{W}.
Verificação rápida (consistência energética): potência fornecida pela fonte é
P_{\text{fonte}}=V_{\text{fonte}}\cdot I \approx 150\times 1,2942 \approx 194,13\\ \text{W},
e de fato P_{\text{carga}}+P_{\text{linha}}\approx 167,50+26,63=194,13\\ \text{W}, bate com P_{\text{fonte}} (diferenças pequenas por arredondamento).

Passo 6

Eficiência do sistema (definição, fórmula e cálculo):
  • Definição prática: eficiência é a fração da potência fornecida que é entregue à carga:
\eta=\frac{P_{\text{carga}}}{P_{\text{fonte}}}.
Em porcentagem, \eta\times 100\%.
Calcule:
\eta=\frac{167,50}{194,13}\approx 0,8627 \quad\Rightarrow\quad \eta\approx 86,27\\ \%.
Interpretação final: cerca de 86{,}3\% da potência fornecida chega à carga; o restante é perdido como calor na linha.

Resposta

I=1,2942\\ \text{A}
V_{\text{carga}}=129,42\\ \text{V}
P_{\text{carga}}=167,50\\ \text{W}
P_{\text{linha}}=26,63\\ \text{W}
\eta=86,27\\ \%

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