Uma linha de transmissão sem perdas de
é conectada a um gerador, que tem
e
e é terminada por uma carga de
. Se a linha tem um comprimento de 100 metros e
, calcule a impedância de entrada e a tensão: A
do gerador;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre linhas de transmissão e impedâncias. Precisamos calcular a impedância de entrada e a tensão em um ponto específico da linha. Para resolver isso, vamos usar conceitos de linhas de transmissão, impedância característica, e como elas se comportam ao longo da distância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Impedância característica da linha, $ Z_0 = 60,\Omega $
- Tensão do gerador, $ V_g = 10 \angle 0^{\circ} $ V rms
- Impedância do gerador, $ Z_g = 60 - j40,\Omega $
- Impedância da carga, $ Z_L = j40,\Omega $
- Comprimento da linha, $ l = 100 $ metros
- Constante de propagação, $ \beta = 0,25,rad/m $
Vamos precisar usar a fórmula da impedância de entrada para uma linha de transmissão sem perdas, que é:
Passo 3
Vamos calcular $ \tan(\beta l) $. Primeiro, multiplicamos $ \beta $ pelo comprimento da linha $ l $:
Agora, calculamos o valor de $ \tan(25) $. Usando uma calculadora:
Passo 4
Substituímos os valores na fórmula da impedância de entrada:
Primeiro, calculamos os numeradores e denominadores:
Numerador:
Denominador:
Passo 5
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Para facilitar a divisão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Calculamos o denominador:
Calculamos o numerador:
Então,
Agora, dividimos:
Multiplicando pelo $ Z_0 $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a tensão a 4 metros do gerador. Primeiro, encontramos a relação entre a tensão no ponto A e a tensão no início da linha.
Usamos a seguinte fórmula para a tensão em uma distância $ d $ da fonte:
Calculamos $ e^{-j\beta d} $:
Passo 7
Substituímos os valores na fórmula da tensão:
Calculamos o denominador:
Agora, dividimos:
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Então,
Agora, dividimos:
Multiplicando pela exponencial:
Distribuímos:
Resposta
A impedância de entrada é aproximadamente $ 19,26 + j62,04,\Omega $ e a tensão a 4 metros do gerador é cerca de $ 7,90,V $.