Uma linha de transmissão sem perdas de
é conectada a um gerador, que tem
e
e é terminada por uma carga de
. Se a linha tem um comprimento de 100 metros e
, calcule a impedância de entrada e a tensão: Na extremidade de recepção;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de linhas de transmissão, que é uma parte da eletrônica e telecomunicações. O que precisamos fazer aqui é calcular a impedância de entrada e a tensão na extremidade de recepção de uma linha de transmissão sem perdas. Para isso, vamos usar conceitos de impedância, transformação de impedância em linhas de transmissão e entender como a onda eletromagnética se propaga pela linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Linha de transmissão sem perdas com impedância característica $ Z_0 = 60 , \Omega $.
- Gerador com tensão $ V_g = 10 \angle 0^{\circ} , V_{rms} $ e impedância interna $ Z_g = 60 - j40 , \Omega $.
- Carga de $ Z_L = j40 , \Omega $.
- Comprimento da linha $ l = 100 , m $.
- Constante de propagação $ \beta = 0,25 , rad/m $.
Nosso objetivo é encontrar a impedância de entrada $ Z_{in} $ e a tensão na extremidade de recepção $ V_{recepção} $.
Passo 3
Para encontrar a impedância de entrada de uma linha de transmissão sem perdas, usamos a fórmula:
Vamos calcular $ \beta l $:
Agora, calculamos $ \tan(\beta l) $:
(Observação: O valor de 25 radianos ultrapassa $ 2\pi $, então a tangente se repete periodicamente. Usamos o valor modulo $ 2\pi $ para facilitar.)
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula da impedância de entrada:
Primeiro, simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então:
Passo 5
Para simplificar a expressão, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Conjugado de $ 60 - j5,28 $ é $ 60 + j5,28 $.
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 6
Dividindo cada parte do numerador pelo denominador:
Parte real:
Parte imaginária:
Então:
Passo 7
Agora, para encontrar a tensão na extremidade de recepção ($ V_{recepção} $), usamos a relação da tensão em uma linha de transmissão:
Substituindo os valores:
Simplificando o denominador:
Então:
Isso significa que a tensão na extremidade de recepção tem uma magnitude de aproximadamente 6,666 V com um ângulo de $ 90^{\circ} $ (já que está representada como $ j $).
Resposta
A impedância de entrada da linha de transmissão é aproximadamente $ Z_{in} = -2,80 + j31,83 , \Omega $ e a tensão na extremidade de recepção é $ V_{recepção} \approx 6,67 , V $ com fase de $ 90^{\circ} $.