1. Uma linha de transmissão sem perdas possui uma impedância caracteristica de 75 \Omega. Uma carga de 100+\mathrm{j} 150 \Omega é conectada a cla. Utilizando a carta de Smith encontre:
c) a admitância da carga Y_{L};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (não estou resolvendo ainda, só listando o que foi dado):
  • Impedância característica: Z_0=75\\ \Omega.
  • Impedância da carga: Z_L=100+\mathrm{j}\,150\\ \Omega.
    O que se pede:
  • Encontrar a admitância da carga Y_L (ou seja, Y_L=\dfrac{1}{Z_L}), normalmente expressa como Y_L=G+\mathrm{j}B em siemens (S).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Admitância é o inverso da impedância:
Y=\frac{1}{Z}.
Unidade: siemens ( \mathrm{S}). Se escrevemos Y=G+\mathrm{j}B, então G é a condutância (parte real) e B é a susceptância (parte imaginária).
  • Para facilitar uso da carta de Smith costuma-se trabalhar com quantidades normalizadas:
z=\frac{Z}{Z_0}\quad\text{(impedância normalizada)},\qquad y=Y Z_0\quad\text{(admitância normalizada)}.ââ
Essas duas estão relacionadas por
y=\frac{1}{z}.
Depois que achamos y (normalizada), obtemos a admitância real dividindo pela característica:
Y=\frac{y}{Z_0}.
  • Fórmula para o inverso de um número complexo a+\mathrm{j}b:
\frac{1}{a+\mathrm{j}b}=\frac{a-\mathrm{j}b}{a^2+b^2},
porque multiplicando numerador e denominador pelo conjugado elimina a parte imaginária no denominador. Vou usar isso passo a passo para não deixar nada escondido.

Passo 3

Normalizar a impedância da carga (passo que faria primeiro ao usar a carta de Smith):
z_L=\frac{Z_L}{Z_0}=\frac{100+\mathrm{j}\,150}{75}.
Calcule cada parte:
\frac{100}{75}=\frac{4}{3},\qquad \frac{150}{75}=2.
Portanto
z_L=\frac{4}{3}+\mathrm{j}\,2.

Passo 4

Calcular a admitância normalizada y_L=\dfrac{1}{z_L} usando a fórmula do inverso de número complexo. Primeiro identifique a=\dfrac{4}{3} e b=2. Então
y_L=\frac{1}{\dfrac{4}{3}+\mathrm{j}2}=\frac{\dfrac{4}{3}-\mathrm{j}2}{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+2^2}.
Calcule o denominador com calma:
\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+2^2=\dfrac{16}{9}+4=\dfrac{16+36}{9}=\dfrac{52}{9}.
Agora multiplique o numerador pelo inverso desse denominador:
y_L=\left(\dfrac{4}{3}-\mathrm{j}2\right)\cdot\frac{9}{52}.
Distribuindo:
\text{parte real: }\frac{4}{3}\cdot\frac{9}{52}=\frac{36}{156}=\frac{3}{13}.
\text{parte imaginária: }-2\cdot\frac{9}{52}=-\frac{18}{52}=-\frac{9}{26}.á
Logo, em forma exata:
y_L=\frac{3}{13}-\mathrm{j}\,\frac{9}{26}.
Se quiser em decimal:
y_L\approx 0{,}230769 - \mathrm{j}\,0{,}3461538\quad(\text{admitância normalizada}).â

Passo 5

Denormalizar para obter a admitância em siemens:
Y_L=\frac{y_L}{Z_0}.
Usando a forma exata:
Y_L=\frac{1}{Z_0}\left(\frac{3}{13}-\mathrm{j}\,\frac{9}{26}\right) = \frac{3}{13\cdot 75} - \mathrm{j}\,\frac{9}{26\cdot 75}.
Simplificando frações:
\frac{3}{13\cdot 75}=\frac{3}{975}=\frac{1}{325}, \qquad \frac{9}{26\cdot 75}=\frac{9}{1950}=\frac{3}{650}.
Portanto a forma exata é
Y_L=\frac{1}{325}-\mathrm{j}\,\frac{3}{650}\quad(\text{S}).
Em decimal (mais prática para a prova):
Y_L\approx 0{,}00307692 - \mathrm{j}\,0{,}00461538\quad(\text{S}).
Em mili‑siemens ( \mathrm{mS}):
Y_L\approx 3{,}07692\\ \mathrm{mS} - \mathrm{j}\,4{,}61538\\ \mathrm{mS}.

Passo 6

Interpretação curta (útil na prova): a parte real G=0{,}00307692\\ \mathrm{S} é a condutância. A parte imaginária é negativa ( B\approx -0{,}00461538\\ \mathrm{S}), o que confirma comportamento indutivo da carga (coerente com Z_L tendo +\mathrm{j}150\\ \Omega). Se o objetivo fosse usar a carta de Smith, os mesmos passos são: normalizar z_L, localizar o ponto em z, aplicar a operação de inversão para achar y (no gráfico corresponde ao ponto de admitância correspondente), e então desnormalizar dividindo por Z_0.

Resposta

\displaystyle Y_L=\frac{1}{325}-\mathrm{j}\,\frac{3}{650}\\ \text{S}\newline
\displaystyle Y_L\approx 0{,}00307692-\mathrm{j}\,0{,}00461538\\ \text{S}

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